Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y)=(2 x sin y, x^2 cos y-3 y^2)

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com
P(x,y)=2xsin y, Q(x,y)=x^2cos y-3y^2
Queremos verificar se vec F é conservativo em R^2 (domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, encontrar um potencial phi tal que nablaphi=vec F.

Passo 2

Para um campo de classe C^1 em R^2, basta conferir se
partial Ppartial y=partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial y(2xsin y) =2xcos y,
partial Qpartial x =partialpartial x(x^2cos y-3y^2) =2xcos y

Passo 3

Como
partial Ppartial y=2xcos y =partial Qpartial x
e o domínio é simplesmente conectado, concluímos que vec F é conservativo.

Passo 4

Procuramos phi(x,y) satisfazendo phix=P. Integramos P em x:
phi(x,y)=integral 2xsin y,dx =x^2sin y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Derivando em y e igualando a Q:
phiy = x^2cos y + h'(y)stackrel!=x^2cos y-3y^2 ;Longrightarrow; h'(y)=-3y^2 ;Longrightarrow; h(y)=-y^3 + C
Então um potencial é
phi(x,y)=x^2sin y - y^3 + C

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é
phi(x,y)=x^2sin y - y^3 + C

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