Na cinética química, a difusão de uma partícula em um meio pode ser modelada como um movimento ao longo de uma curva parametrizada. Considere que uma molécula segue a trajetória descrita pela curva paramétrica:
gamma(t)=(t^2, t^3), 0 <= t <= 2
A resistência do meio ao movimento da molécula é modelada por uma força tangencial proporcional ao comprimento de arco percorrido. Em notação vetorial, a força é dada por:
F(s)=e^-s T,
onde s é o comprimento de arco a partir da origem e T é o vetor unitário tangente à curva. Calcule o trabalho realizado pela força ao longo da trajetória da molécula

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
gamma(t) = l(t^2,;t^3r), 0<= t<=2,
e uma força tangencial
vec F(s) = e^-s,vec T,
onde s é o comprimento de arco a partir de t=0 e vec T é o vetor unitário tangente. Precisamos calcular o trabalho
W = integralC vec Fcdot dvec r

Passo 2

Como vec F é paralelo a vec T e dvec r=vec T,ds, o produto escalar fica
vec Fcdot dvec r = e^-s,vec Tcdot(vec T,ds) = e^-s,ds
Logo
W = integrals=0^s=L e^-s,ds,
sendo L o comprimento total da curva de t=0 a t=2.

Passo 3

Para achar L, primeiro computamos
gamma'(t) = (2t,;3t^2),
então
l|gamma'(t)r| = raiz(2t)^2 + (3t^2)^2 = raiz4t^2 + 9t^4 = t,raiz4+9t^2
Portanto o comprimento de arco é
L = integral0^2l|gamma'(t)r|,dt = integral0^2 t,raiz4+9t^2,dt

Passo 4

Para avaliar integral0^2 traiz4+9t^2,dt, fazemos a substituição
u = 4+9t^2, du = 18,t,dt,
quando t=0 temos u=4 e quando t=2 temos u=40. Assim
L = integralu=4^u=40 raiz u18,du = 118cdot 23l(u^3/2r)|4^40 = 127l(40^3/2-4^3/2r)
Como 40^3/2=(raiz40)^3=(2raiz10)^3=8,(10raiz10) e 4^3/2=8,
L = 127l(80raiz10-8r) = 827l(10raiz10-1r)

Passo 5

Voltando ao trabalho, temos
W = integral0^L e^-s,ds = l[-e^-sr]0^L = 1 - e^-L
Substituindo o valor de L,
W = 1 - exp!l(-tfrac827(10raiz10-1)r)

Resposta

W = 1 - exp!l(-tfrac827(10raiz10-1)r)

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