Na cinética química, a difusão de uma partícula em um meio pode ser modelada como um movimento ao longo de uma curva parametrizada. Considere que uma molécula segue a trajetória descrita pela curva paramétrica:
A resistência do meio ao movimento da molécula é modelada por uma força tangencial proporcional ao comprimento de arco percorrido. Em notação vetorial, a força é dada por:
onde é o comprimento de arco a partir da origem e é o vetor unitário tangente à curva. Calcule o trabalho realizado pela força ao longo da trajetória da molécula
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e uma força tangencial
onde é o comprimento de arco a partir de e é o vetor unitário tangente. Precisamos calcular o trabalho
Passo 2
Como é paralelo a e , o produto escalar fica
Logo
sendo o comprimento total da curva de a .
Passo 3
Para achar , primeiro computamos
então
Portanto o comprimento de arco é
L = integral0^2l|gamma'(t)r|,dt = integral0^2 t,raiz4+9t^2,dt
Passo 4
Para avaliar integral0^2 traiz4+9t^2,dt, fazemos a substituição
u = 4+9t^2, du = 18,t,dt,
quando t=0 temos u=4 e quando t=2 temos u=40. Assim
L = integralu=4^u=40 raiz u18,du = 118cdot 23l(u^3/2r)|4^40 = 127l(40^3/2-4^3/2r)
Como 40^3/2=(raiz40)^3=(2raiz10)^3=8,(10raiz10) e 4^3/2=8,