Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y)=(y^2-3-yx^2+x y, 1x+y+2 x y+2 y) j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
vec F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(y^2-3-yx^2+xy,;1x+y+2xy+2yr)
e pede para verificar se vec F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=vec F. Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e depois integrar.

Passo 2

Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial yl(y^2-3-yx(x+y)r) =2y-partialpartial yl(yx(x+y)r)
Para yx(x+y), aplicando quociente ou frações parciais, obtém-se
partialpartial yl(yx(x+y)r) =x^2l(x(x+y)r)^2 =1(x+y)^2
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partial Ppartial y =2y-1(x+y)^2
Agora
partial Qpartial x =partialpartial xl(1x+y+2xy+2yr) =-1(x+y)^2+2y =2y-1(x+y)^2
Como partial P/partial y=partial Q/partial x no domínio (x,y)mid x(x+y)neq0, concluímos que vec F é conservativo em cada componente conexa desse domínio.

Passo 3

Para encontrar phi, integramos P em x, considerando y constante:
phi(x,y) =integral P(x,y),dx =integrall(y^2-3r),dx -integralyx(x+y),dx +H(y)
A primeira parte dá (y^2-3),x, sobrando
phi(x,y) =(y^2-3)x -integralyx(x+y),dx +H(y)

Passo 4

Calculemos
integralyx(x+y),dx =yintegral1x(x+y),dx
Usando frações parciais,
1x(x+y) =1/yx-1/yx+y,
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yintegral1x(x+y),dx =integrall(1x-1x+yr),dx =lnl|xx+yr|
Portanto
phi(x,y)=(y^2-3)x -lnl|xx+yr|+H(y)

Passo 5

Diferenciando em y:
partialphipartial y =2y,x -partialpartial ylnl|xx+yr| +H'(y) =2xy+1x+y+H'(y)
Para coincidir com Q(x,y)=2xy+tfrac1x+y+2y, é preciso H'(y)=2y, de onde
H(y)=y^2+C

Resposta

Uma função potencial válida é, desprezando a constante C,
phi(x,y) =xy^2-3x+y^2 +lnl|x+yxr|

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