Por cada um dos seguintes campos vetoriais , determine se é conservativo. Se sim, calcule um potencial para . j
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que . Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas e depois integrar.
Passo 2
Calculemos
Para , aplicando quociente ou frações parciais, obtém-se
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Agora
Como no domínio , concluímos que é conservativo em cada componente conexa desse domínio.
Passo 3
Para encontrar , integramos em , considerando constante:
A primeira parte dá , sobrando
Passo 4
Calculemos
Usando frações parciais,
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Portanto
phi(x,y)=(y^2-3)x -lnl|xx+yr|+H(y)
Passo 5
Diferenciando em y:
partialphipartial y =2y,x -partialpartial ylnl|xx+yr| +H'(y) =2xy+1x+y+H'(y)
Para coincidir com Q(x,y)=2xy+tfrac1x+y+2y, é preciso H'(y)=2y, de onde
H(y)=y^2+C
Resposta
Uma função potencial válida é, desprezando a constante C,