Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y)=(e^-x y-x y e^-x+3, x e^-x-2 y)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com
P(x,y)=e^-xy ;-; x,y,e^-x ;+; 3,
Q(x,y)=x,e^-x-2y,
e pede para verificar se F é conservativo. Se for, queremos achar uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x=P e partialphipartial y=Q

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo (aqui R^2), um campo é conservativo se e somente se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^-xy - x,y,e^-x + 3r) =e^-x-x,e^-x =e^-x(1-x),
partial Qpartial x =partialpartial xl(x,e^-x-2yr) =-x,e^-x+e^-x =e^-x(1-x)
Como ambas derivadas coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar phi, integramos P em relação a x:
integrall(e^-xy - x,y,e^-x + 3r),dx =yintegral e^-x(1-x),dx ;+;3x =yl(x,e^-xr)+3x + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Agora impomos partialphipartial y=Q. Como
phi(x,y)=x,y,e^-x+3x + h(y),
temos
partialphipartial y = x,e^-x+h'(y) stackrel!=x,e^-x-2y Longrightarrow h'(y)=-2y
Integrando em y, obtemos h(y)=-y^2+C.

Resposta

Um potencial para F é
phi(x,y)=x,y,e^-x+3x - y^2 + C

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