Calcule a integral integralC F cdot d r onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=sen x i+cos y j+x z k e r(t)=t^3 i+t^2 j+t k, com 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC Fcdot dr
onde F(x,y,z)=sen x,i+cos y,j+xz,k e a curva C é dada pela parametrização
r(t)=t^3,i+t^2,j+t,k, com 0<= t<=1.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, usando a fórmula
integralCFcdot dr=integralt=0^1F(r(t))cdotr'(t),dt

Passo 2

Primeiro encontramos r'(t) e substituímos na expressão de F.
r'(t)=ddtl(t^3,t^2,tr)=(3t^2,2t,1)
F(r(t)) =l(sen(t^3),cos(t^2),,t^3cdot tr) =l(sen(t^3),cos(t^2),t^4r)

Passo 3

Formamos o produto escalar F(r(t))cdotr'(t) e escrevemos a integral em t:
F(r(t))cdotr'(t) =3t^2sen(t^3)+2tcos(t^2)+t^4,
integralCFcdot dr =integral0^1l[3t^2sen(t^3)+2tcos(t^2)+t^4r],dt

Passo 4

Agora separamos em três integrais e usamos substituições naturais:
  1. integral0^13t^2sen(t^3),dt, com u=t^3Rightarrow du=3t^2dt, dá
integralu=0^1sen u,du=-cos u|0^1=-cos(1)+cos(0)=1-cos(1)
  1. integral0^12tcos(t^2),dt, com v=t^2Rightarrow dv=2t,dt, dá
integralv=0^1cos v,dv=sen v|0^1=sen(1)
  1. integral0^1t^4,dt=t^55|0^1=15

Passo 5

Somando os resultados:
(1-cos(1))+sen(1)+15 =65+sen(1)-cos(1)

Resposta

integralCFcdot dr =65+sen(1)-cos(1)

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