Por cada um dos seguintes campos vetoriais
, determine se
é conservativo. Se sim, calcule um potencial para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo, e se for, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo usado será o teste de igualdade de derivadas parciais num domínio simplesmente conexo (aqui
) e integração para obter
.
Passo 2
Verificamos o critério de conservatividade em
. Calculamos
e
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
Como
é constante, isso dá
Usando integração por partes em
e lembrando que
, chegamos a
Logo
onde
é função só de
.
Passo 4
Determinamos
exigindo
:
Isso implica
, ou seja
é constante.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é