Por cada um dos seguintes campos vetoriais vecF, determine se vecF é conservativo. Se sim, calcule um potencial para vecF.
vecF(x, y)=(-x^2 y^2 sen x+2 x y^2 cos x, 2 x^2 y cos x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) =l(-x^2y^2sin x+2xy^2cos x,;2x^2ycos xr)
é conservativo, e se for, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. O conteúdo usado será o teste de igualdade de derivadas parciais num domínio simplesmente conexo (aqui R^2) e integração para obter phi.

Passo 2

Verificamos o critério de conservatividade em R^2. Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-x^2y^2sin x+2xy^2cos xr) =-2x^2ysin x+4xycos x,
e
partial Qpartial x =partialpartial xl(2x^2ycos xr) =4xycos x-2x^2ysin x
Como partial P/partial y=partial Q/partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integrall(-x^2y^2sin x+2xy^2cos xr),dx
Como y é constante, isso dá
y^2integrall(-x^2sin x+2xcos xr),dx
Usando integração por partes em integral -x^2sin x,dx e lembrando que
integral2xcos x,dx=2xsin x+2cos x, chegamos a
integrall(-x^2sin x+2xcos xr)dx =x^2cos x-2xsin x-2cos x+2xsin x+2cos x =x^2cos x
Logo
phi(x,y)=x^2y^2cos x+h(y),
onde h é função só de y.

Passo 4

Determinamos h(y) exigindo phiy=Q:
partialphipartial y =2x^2ycos x+h'(y) =2x^2ycos x
Isso implica h'(y)=0, ou seja h(y) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=x^2y^2cos x+C

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