Se
. Determine
e
no ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função
e a norma desse gradiente no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente com gradientes e normas de vetores. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável e depois usar essas derivadas para encontrar o gradiente e sua norma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja, para
, o gradiente
é dado por:
Isso nos mostra a direção de maior crescimento da função e a inclinação nessa direção.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente
:
Passo 5
Vamos substituir os valores do ponto
nas derivadas que encontramos para calcular o gradiente no ponto específico.
Substituindo
,
,
:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma do gradiente, que é basicamente o comprimento do vetor gradiente. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Podemos simplificar mais se quisermos, mas geralmente deixamos a raiz quadrada assim para responder a norma.
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a norma do gradiente é
.