Se phi(x, y, z)=2 x z^4-x^4 y. Determine nabla phi e |nabla phi| no ponto ( 2,-2,-1 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função phi(x, y, z) = 2x z^4 - x^4 y e a norma desse gradiente no ponto (2, -2, -1). Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Multivariável, especificamente com gradientes e normas de vetores. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável e depois usar essas derivadas para encontrar o gradiente e sua norma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais dessa função. Ou seja, para phi(x, y, z), o gradiente nabla phi é dado por:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )
Isso nos mostra a direção de maior crescimento da função e a inclinação nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de phi em relação a cada uma das variáveis x, y e z.
Derivada parcial em relação a x:
partial phipartial x = partialpartial x ( 2x z^4 - x^4 y ) = 2 z^4 - 4x^3 y
Derivada parcial em relação a y:
partial phipartial y = partialpartial y ( 2x z^4 - x^4 y ) = -x^4
Derivada parcial em relação a z:
partial phipartial z = partialpartial z ( 2x z^4 - x^4 y ) = 8x z^3

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente nabla phi:
nabla phi = ( 2 z^4 - 4x^3 y, -x^4, 8x z^3 )

Passo 5

Vamos substituir os valores do ponto (2, -2, -1) nas derivadas que encontramos para calcular o gradiente no ponto específico.
Substituindo x = 2, y = -2, z = -1:
  • Para a primeira componente:
2 z^4 - 4x^3 y = 2 (-1)^4 - 4(2)^3 (-2) = 2(1) - 4(8)(-2) = 2 + 64 = 66
  • Para a segunda componente:
-x^4 = -(2)^4 = -16
  • Para a terceira componente:
8x z^3 = 8(2) (-1)^3 = 16 (-1) = -16
Então, o gradiente no ponto (2, -2, -1) é:
nabla phi(2, -2, -1) = (66, -16, -16)

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do gradiente, que é basicamente o comprimento do vetor gradiente. A fórmula para a norma de um vetor (a, b, c) é:
|nabla phi| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso gradiente:
|nabla phi| = raiz66^2 + (-16)^2 + (-16)^2 = raiz4356 + 256 + 256 = raiz4868
Podemos simplificar mais se quisermos, mas geralmente deixamos a raiz quadrada assim para responder a norma.

Resposta

O gradiente de phi no ponto (2, -2, -1) é nabla phi = (66, -16, -16) e a norma do gradiente é |nabla phi| = raiz4868.

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