Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2-4 x-4 y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de segundo grau
x^2+y^2-4x-4y=0
e pede para determinar que tipo de gráfico é, completando quadrados. O conteúdo aqui é identificar uma cônica (sem termo xy) e trazê-la à forma padrão.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e y:
x^2-4x e y^2-4y
Para completar o quadrado em x, lembramos que
x^2-4x = (x-2)^2-2^2 = (x-2)^2-4

Passo 3

Analogamente, para y:
y^2-4y = (y-2)^2-2^2 = (y-2)^2-4

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos
(x-2)^2-4 ;+;(y-2)^2-4 ;=;0
ou seja
(x-2)^2 + (y-2)^2 - 8 = 0
e finalmente
(x-2)^2 + (y-2)^2 = 8

Passo 5

Essa é a forma padrão de uma circunferência de centro (2,2) e raio
r = raiz8 = 2raiz2

Resposta

A curva é uma circunferência de centro (2,2) e raio 2raiz2.

Exercícios relacionados