Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2+8 x+10 y+40=0.

Passo 1

O enunciado pede que a partir da equação
x^2+y^2+8x+10y+40=0
a gente determine a natureza do gráfico usando completar quadrados, ou seja, transformar essa expressão quadrática na forma canônica para identificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de x, de y e o termo constante:
x^2+8x + y^2+10y + 40 = 0

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada grupo:
x^2+8x = (x+4)^2 - 16, y^2+10y = (y+5)^2 - 25
Substituindo na equação original:
(x+4)^2 - 16 ;+;(y+5)^2 - 25 ;+;40 ;=;0

Passo 4

Somando os constantes -16 - 25 + 40 = -1, obtemos
(x+4)^2 + (y+5)^2 - 1 = 0
ou seja
(x+4)^2 + (y+5)^2 = 1

Passo 5

A forma (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 é a equação canônica de um círculo de centro (h,k) e raio r. Aqui temos h=-4, k=-5 e r^2=1, logo r=1.

Resposta

A curva é um círculo de centro (-4,-5) e raio 1.

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