Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2-18 x-14 y+130=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2+y^2-18x-14y+130=0
e pede para determinar a natureza do gráfico completando quadrados. O conteúdo envolvido é classificar uma cônica (círculo, elipse, parábola, hipérbole ou caso degenerado) por meio de redução ao centro.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y:
(x^2-18x)+(y^2-14y)+130=0

Passo 3

Para completar o quadrado em cada grupo, adicionamos e subtraímos os termos necessários:
x^2-18x = (x-9)^2-81, y^2-14y = (y-7)^2-49
Substituindo na equação:
l((x-9)^2-81r) + l((y-7)^2-49r) +130 = 0
Agora somamos os constantes:
(x-9)^2 + (y-7)^2 -81 -49 +130 = 0 Longrightarrow (x-9)^2 + (y-7)^2 = 0

Passo 4

A forma
(x-9)^2 + (y-7)^2 = 0
é justamente a equação de um círculo cujo raio satisfaça rho^2=0. Como rho=0, o círculo degenera em um único ponto, o centro.

Resposta

O gráfico é o ponto (9,7).

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