Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2+12 x-32 y+36=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza do gráfico da equação
x^2+y^2+12x-32y+36=0
usando o método de completar quadrados. Aqui o conteúdo é classificação de cônicas — vamos reescrever em forma padrão para identificar qual cônica é.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando os termos em x e em y:
x^2+12x ;+; y^2-32y ;+;36 ;=;0

Passo 3

Completar o quadrado em x:
x^2+12x = (x+6)^2-36
Completar o quadrado em y:
y^2-32y = (y-16)^2-256

Passo 4

Substituindo na equação original, temos
(x+6)^2-36 + (y-16)^2-256 +36 = 0
Somando -36-256+36=-256, fica
(x+6)^2 + (y-16)^2 -256 = 0 Longrightarrow (x+6)^2 + (y-16)^2 = 256

Passo 5

A forma padrão (x+6)^2+(y-16)^2=16^2 mostra que é uma circunferência de centro (-6,16) e raio 16.

Resposta

É uma circunferência com centro em (-6,16) e raio 16.

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