Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2-8 x+12 y+53=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
x^2+y^2-8x+12y+53=0
e pede para determinar a natureza do gráfico, completando quadrados. Aqui o conteúdo é identificação de cônicas (especificamente de círculo) pelo método de completar quadrados.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e isolamos a constante:
(x^2-8x)+(y^2+12y)+53=0
Agora completamos quadrados em cada grupo:
x^2-8x = (x-4)^2-16,
y^2+12y = (y+6)^2-36
Substituindo na equação original:
(x-4)^2-16 ;+;(y+6)^2-36 ;+;53 ;=;0
Somando as constantes:
-16 -36 +53 = 1,
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(x-4)^2 + (y+6)^2 +1 = 0
e, portanto,
(x-4)^2 + (y+6)^2 = -1

Passo 3

O lado esquerdo (x-4)^2+(y+6)^2 é sempre >=0, mas o lado direito é -1<0. Isso não admite nenhuma solução real.

Resposta

O gráfico é o conjunto vazio (não há pontos reais que satisfaçam a equação).

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