Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
x^2+y^2-16 x+6 y-48=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mistura x e y e precisamos descobrir que tipo de gráfico ela representa. O conteúdo que vamos usar aqui é o de geometria analítica, especificamente a técnica de completar o quadrado. Isso vai ajudar a gente a transformar a equação em uma forma que reconhecemos mais facilmente, tipo a de um círculo ou elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x e de y separadamente:
x^2 - 16x + y^2 + 6y - 48 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x . Pegamos o coeficiente de x , que é -16, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-162)^2 = (-8)^2 = 64
Então, adicionamos e subtraímos 64 na equação:
x^2 - 16x + 64 - 64 + y^2 + 6y - 48 = 0
Isso simplifica para:
(x - 8)^2 - 64 + y^2 + 6y - 48 = 0

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para os termos de y . Pegamos o coeficiente de y , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(62)^2 = 3^2 = 9
Adicionamos e subtraímos 9 na equação:
(x - 8)^2 - 64 + y^2 + 6y + 9 - 9 - 48 = 0
Isso fica:
(x - 8)^2 - 64 + (y + 3)^2 - 9 - 48 = 0

Passo 5

Vamos simplificar os números:
(x - 8)^2 + (y + 3)^2 - 121 = 0
Agora, levamos o -121 para o outro lado da equação:
(x - 8)^2 + (y + 3)^2 = 121

Passo 6

Prontinho! A equação está na forma padrão de um círculo:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio.

Resposta

O gráfico da equação é um círculo com centro em (8, -3) e raio 11 (já que raiz121 = 11 ).

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