Em cada um dos seguintes casos, determine a natureza do gráfico da equação dada, completando quadrados.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que mistura
e
e precisamos descobrir que tipo de gráfico ela representa. O conteúdo que vamos usar aqui é o de geometria analítica, especificamente a técnica de completar o quadrado. Isso vai ajudar a gente a transformar a equação em uma forma que reconhecemos mais facilmente, tipo a de um círculo ou elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
separadamente:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Pegamos o coeficiente de
, que é
, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 64 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para os termos de
. Pegamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso fica:
Passo 5
Vamos simplificar os números:
Agora, levamos o -121 para o outro lado da equação:
Passo 6
Prontinho! A equação está na forma padrão de um círculo:
Onde
é o centro e
é o raio.
Resposta
O gráfico da equação é um círculo com centro em
e raio
(já que
).