Encontre a equação do lugar geométrico de um ponto P=(x, y) que se move de acordo com cada uma das condições abaixo e esboce os gráficos.
A soma dos quadrados das distâncias de P aos pontos (a, 0) e (-a, 0) é 4 b^2, onde b>a>0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto P = (x, y) que se move de uma forma específica. A condição é que a soma dos quadrados das distâncias de P aos pontos (a, 0) e (-a, 0) seja igual a 4b^2 , onde b > a > 0 . Isso está relacionado à geometria analítica, onde vamos usar fórmulas de distância entre pontos para encontrar a equação desse lugar geométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância entre P = (x, y) e A = (a, 0) é dada pela fórmula:
d(P, A) = raiz(x - a)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - a)^2 + y^2
Como o exercício fala sobre o quadrado dessa distância, vamos elevar ao quadrado:
d^2(P, A) = (x - a)^2 + y^2

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para o ponto B = (-a, 0) :
d(P, B) = raiz(x + a)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x + a)^2 + y^2
E elevando ao quadrado:
d^2(P, B) = (x + a)^2 + y^2

Passo 4

A condição do exercício diz que a soma desses quadrados das distâncias é igual a 4b^2 . Então, vamos somar as duas expressões que encontramos:
d^2(P, A) + d^2(P, B) = (x - a)^2 + y^2 + (x + a)^2 + y^2 = 4b^2

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, expandindo os termos:
(x - a)^2 + (x + a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 2x^2 + 2a^2
E somando os termos de y :
2x^2 + 2a^2 + 2y^2 = 4b^2
Agora, dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
x^2 + a^2 + y^2 = 2b^2

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para identificar o tipo de curva:
x^2 + y^2 = 2b^2 - a^2
Isso é a equação de um círculo centrado na origem (0, 0) com raio raiz2b^2 - a^2 . Como b > a , o valor dentro da raiz é positivo, confirmando que é um círculo real.

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
x^2 + y^2 = 2b^2 - a^2
E o gráfico é um círculo centrado na origem com raio raiz2b^2 - a^2 .

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