Encontre a equação do lugar geométrico de um ponto
que se move de acordo com cada uma das condições abaixo e esboce os gráficos.
A soma dos quadrados das distâncias de
aos pontos
e
é
, onde
.
A soma dos quadrados das distâncias de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um ponto
que se move de uma forma específica. A condição é que a soma dos quadrados das distâncias de
aos pontos
e
seja igual a
, onde
. Isso está relacionado à geometria analítica, onde vamos usar fórmulas de distância entre pontos para encontrar a equação desse lugar geométrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância entre
e
é dada pela fórmula:
Como o exercício fala sobre o quadrado dessa distância, vamos elevar ao quadrado:
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo para o ponto
:
E elevando ao quadrado:
Passo 4
A condição do exercício diz que a soma desses quadrados das distâncias é igual a
. Então, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, expandindo os termos:
E somando os termos de
:
Agora, dividimos todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para identificar o tipo de curva:
Isso é a equação de um círculo centrado na origem
com raio
. Como
, o valor dentro da raiz é positivo, confirmando que é um círculo real.
Resposta
A equação do lugar geométrico é:
E o gráfico é um círculo centrado na origem com raio
.