Encontre a equação do lugar geométrico de um ponto
que se move de acordo com cada uma das condições abaixo e esboce os gráficos.
A distância de
ao ponto
é o dobro de sua distância ao ponto
.
A distância de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto
que se move de forma que a distância dele até o ponto
seja o dobro da distância até o ponto
. Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve todos esses pontos
, ou seja, o lugar geométrico de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância entre
e
é dada pela fórmula:
Passo 3
Aplicando essa fórmula, a distância de
até
é:
E a distância de
até
é:
Passo 4
De acordo com a condição dada, a distância até
é o dobro da distância até
. Então, podemos escrever:
Passo 5
Para eliminar as raízes, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 7
Simplificando o lado direito:
Passo 8
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Passo 9
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 10
Para facilitar, vamos dividir toda a equação por -3:
Passo 11
Essa equação representa uma circunferência. Vamos completá-la para encontrar o centro e o raio.
Primeiro, agrupamos os termos de
e de
:
Passo 12
Completemos o quadrado para
:
E para
:
Passo 13
Substituindo na equação:
Passo 14
Simplificando:
Passo 15
Portanto, a equação do lugar geométrico é:
Resposta
A equação do lugar geométrico é: