Encontre a equação do lugar geométrico de um ponto P=(x, y) que se move de acordo com cada uma das condições abaixo e esboce os gráficos.
A distância de P ao ponto (8,0) é o dobro de sua distância ao ponto (0,4).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto P = (x, y) que se move de forma que a distância dele até o ponto (8, 0) seja o dobro da distância até o ponto (0, 4) . Nosso objetivo é encontrar a equação que descreve todos esses pontos P , ou seja, o lugar geométrico de P .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A distância entre P = (x, y) e A = (a, b) é dada pela fórmula:
d(P, A) = raiz(x - a)^2 + (y - b)^2

Passo 3

Aplicando essa fórmula, a distância de P até (8, 0) é:
d(P, (8, 0)) = raiz(x - 8)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 8)^2 + y^2
E a distância de P até (0, 4) é:
d(P, (0, 4)) = raiz(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = raizx^2 + (y - 4)^2

Passo 4

De acordo com a condição dada, a distância até (8, 0) é o dobro da distância até (0, 4) . Então, podemos escrever:
raiz(x - 8)^2 + y^2 = 2 cdot raizx^2 + (y - 4)^2

Passo 5

Para eliminar as raízes, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
(x - 8)^2 + y^2 = 4 cdot [x^2 + (y - 4)^2]

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
(x - 8)^2 + y^2 = 4x^2 + 4(y - 4)^2
x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4x^2 + 4(y^2 - 8y + 16)

Passo 7

Simplificando o lado direito:
x^2 - 16x + 64 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 32y + 64

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 4x^2 - 4y^2 + 32y - 64 = 0

Passo 9

Simplificando os termos semelhantes:
-3x^2 - 3y^2 -16x +32y = 0

Passo 10

Para facilitar, vamos dividir toda a equação por -3:
x^2 + y^2 + 163x - 323y = 0

Passo 11

Essa equação representa uma circunferência. Vamos completá-la para encontrar o centro e o raio.
Primeiro, agrupamos os termos de x e de y :
x^2 + 163x + y^2 - 323y = 0

Passo 12

Completemos o quadrado para x :
x^2 + 163x = (x + 83)^2 - (83)^2
E para y :
y^2 - 323y = (y - 163)^2 - (163)^2

Passo 13

Substituindo na equação:
(x + 83)^2 - (83)^2 + (y - 163)^2 - (163)^2 = 0

Passo 14

Simplificando:
(x + 83)^2 + (y - 163)^2 = (83)^2 + (163)^2
(x + 83)^2 + (y - 163)^2 = 649 + 2569 = 3209

Passo 15

Portanto, a equação do lugar geométrico é:
(x + 83)^2 + (y - 163)^2 = 3209

Resposta

A equação do lugar geométrico é:
(x + dfrac83)^2 + (y - dfrac163)^2 = dfrac3209

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