Em cada um dos seguintes casos, determine se a relação dada é uma relação de equivalência no conjunto. Descreva a partição que corresponde à relação de equivalência.
rho subseteq(Z^* 2)^2:(m1, m2) rho(n1, n2) Leftrightarrow|ccm1 & m2 n1 & n2|=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma relação chamada rho definida sobre pares de números inteiros, e precisa descobrir se essa relação é uma relação de equivalência. Se for, também vamos descrever como essa relação divide o conjunto em partições. Pra resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, isso significa que para qualquer par (m1, m2), (m1, m2) rho (m1, m2) deve ser verdadeiro.
A relação rho diz que |ccm1 & m2 m1 & m2| = 0. Calculando o determinante:
|ccm1 & m2 m1 & m2| = m1 cdot m2 - m2 cdot m1 = 0
Como sempre dá zero, a relação é reflexiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar a simetria. A relação é simétrica se, sempre que (m1, m2) rho (n1, n2), então também (n1, n2) rho (m1, m2).
Olha só, o determinante:
|ccm1 & m2 n1 & n2| = m1n2 - m2n1
Se isso for zero, então:
|ccn1 & n2 m1 & m2| = n1m2 - n2m1 = -(m1n2 - m2n1) = 0
Então, se (m1, m2) rho (n1, n2), automaticamente (n1, n2) rho (m1, m2). Logo, a relação é simétrica.

Passo 4

Vamos para a transitividade. A relação é transitiva se, sempre que (m1, m2) rho (n1, n2) e (n1, n2) rho (p1, p2), então (m1, m2) rho (p1, p2).
Sabemos que:
m1n2 - m2n1 = 0 e n1p2 - n2p1 = 0
Isso implica que (m1, m2) e (n1, n2) são linearmente dependentes, assim como (n1, n2) e (p1, p2). Logo, (m1, m2) e (p1, p2) também são linearmente dependentes, ou seja:
m1p2 - m2p1 = 0
Portanto, (m1, m2) rho (p1, p2), mostrando que a relação é transitiva.

Passo 5

Como vimos, a relação rho satisfaz os três critérios: reflexividade, simetria e transitividade. Isso significa que rho é de fato uma relação de equivalência no conjunto de pares de números inteiros.

Passo 6

Agora, vamos descrever a partição que corresponde a essa relação de equivalência. Uma partição divide o conjunto em classes de equivalência, onde todos os elementos de uma classe estão relacionados entre si.
No nosso caso, a relação rho considera dois pares (m1, m2) e (n1, n2) equivalentes se eles são linearmente dependentes, ou seja, se um é múltiplo do outro. Assim, cada classe de equivalência é formada por todos os pares que estão na mesma “linha” passando pela origem.
Por exemplo, a classe de (1, 2) incluiria (2, 4), (3, 6), etc., porque são múltiplos de (1, 2).

Resposta

Sim, a relação rho é uma relação de equivalência no conjunto de pares de números inteiros. A partição correspondente divide o conjunto em classes de equivalência onde cada classe contém todos os pares de inteiros que são múltiplos uns dos outros, ou seja, que estão na mesma linha passando pela origem.

Exercícios relacionados