Em cada um dos seguintes casos, determine se a relação dada é uma relação de equivalência no conjunto. Descreva a partição que corresponde à relação de equivalência. .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma relação chamada rho definida sobre pares de números inteiros, e precisa descobrir se essa relação é uma relação de equivalência. Se for, também vamos descrever como essa relação divide o conjunto em partições. Pra resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem uma relação de equivalência: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre reflexividade. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. No nosso caso, isso significa que para qualquer par (m1, m2), (m1, m2) rho (m1, m2) deve ser verdadeiro.
A relação rho diz que |ccm1 & m2 m1 & m2| = 0. Calculando o determinante:
|ccm1 & m2 m1 & m2| = m1 cdot m2 - m2 cdot m1 = 0
Como sempre dá zero, a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar a simetria. A relação é simétrica se, sempre que (m1, m2) rho (n1, n2), então também (n1, n2) rho (m1, m2).
Então, se (m1, m2) rho (n1, n2), automaticamente (n1, n2) rho (m1, m2). Logo, a relação é simétrica.
Passo 4
Vamos para a transitividade. A relação é transitiva se, sempre que (m1, m2) rho (n1, n2) e (n1, n2) rho (p1, p2), então (m1, m2) rho (p1, p2).
Sabemos que:
m1n2 - m2n1 = 0 e n1p2 - n2p1 = 0
Isso implica que (m1, m2) e (n1, n2) são linearmente dependentes, assim como (n1, n2) e (p1, p2). Logo, (m1, m2) e (p1, p2) também são linearmente dependentes, ou seja:
m1p2 - m2p1 = 0
Portanto, (m1, m2) rho (p1, p2), mostrando que a relação é transitiva.
Passo 5
Como vimos, a relação rho satisfaz os três critérios: reflexividade, simetria e transitividade. Isso significa que rho é de fato uma relação de equivalência no conjunto de pares de números inteiros.
Passo 6
Agora, vamos descrever a partição que corresponde a essa relação de equivalência. Uma partição divide o conjunto em classes de equivalência, onde todos os elementos de uma classe estão relacionados entre si.
No nosso caso, a relação rho considera dois pares (m1, m2) e (n1, n2) equivalentes se eles são linearmente dependentes, ou seja, se um é múltiplo do outro. Assim, cada classe de equivalência é formada por todos os pares que estão na mesma “linha” passando pela origem.
Por exemplo, a classe de (1, 2) incluiria (2, 4), (3, 6), etc., porque são múltiplos de (1, 2).
Resposta
Sim, a relação rho é uma relação de equivalência no conjunto de pares de números inteiros. A partição correspondente divide o conjunto em classes de equivalência onde cada classe contém todos os pares de inteiros que são múltiplos uns dos outros, ou seja, que estão na mesma linha passando pela origem.