Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique se a estrutura (
, 😃 de númerios complexos não nulos com a operação binária:
de divisão
(a) é finita ou infinita;
(b) é associativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não possui;
(d) possui um elemento inverso para cada seu elemento ou possui elementos não inversíveis;
(e) é comutativa ou não.
Verifique se a estrutura (
(a) é finita ou infinita;
(b) é associativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não possui;
(d) possui um elemento inverso para cada seu elemento ou possui elementos não inversíveis;
(e) é comutativa ou não.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a estrutura algébrica
, em que \r
é o conjunto dos números complexos não nulos e a operação binária é a divisão \r
Vamos verificar se ela é (a) finita ou infinita, (b) associativa, (c) possui elemento neutro, (d) possui inversos e (e) é comutativa.
Passo 2
(a) O conjunto
é infinito (pois já
é infinito). Logo, a estrutura é infinita.
Passo 3
(b) Associatividade? Tomemos três elementos
e comparemos
Em geral
(por exemplo, com
dá
). Então a operação não é associativa.
Passo 4
(c) Elemento neutro? Buscamos
tal que para todo
valha
A primeira igualdade dá
. Inserindo na segunda:
, o que só ocorre para
, não para todo
. Portanto, não há elemento neutro global.
Passo 5
(d) Inversos? Num grupo precisaríamos de
tal que
mas já falhamos em achar
. Sem elemento neutro, não faz sentido ter inversos de forma usual, e de fato não há inversos bidirecionais para todos os
.
Passo 6
(e) Comutatividade? Em geral
por exemplo
. Logo a operação não é comutativa.
Resposta
(a) infinita
(b) não é associativa
(c) não possui elemento neutro
(d) não possui inversos para todos os elementos
(e) não é comutativa
(b) não é associativa
(c) não possui elemento neutro
(d) não possui inversos para todos os elementos
(e) não é comutativa