Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique se a estrutura ( mathbbC^*, 😃 de númerios complexos não nulos com a operação binária: mathbbC^* times C^* mapsto C^* de divisão
(a) é finita ou infinita;
(b) é associativa ou não;
(c) possui um elemento neutro ou não possui;
(d) possui um elemento inverso para cada seu elemento ou possui elementos não inversíveis;
(e) é comutativa ou não.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a estrutura algébrica l(C^*,colonr), em que \r
C^* = Csetminus0 é o conjunto dos números complexos não nulos e a operação binária é a divisão \r
colon:C^*timesC^*toC^*, (z,w)mapsto zw \r
Vamos verificar se ela é (a) finita ou infinita, (b) associativa, (c) possui elemento neutro, (d) possui inversos e (e) é comutativa.

Passo 2

(a) O conjunto C^* é infinito (pois já C é infinito). Logo, a estrutura é infinita.

Passo 3

(b) Associatividade? Tomemos três elementos z1,z2,z3inC^* e comparemos
z1z2z3 =z1z2,z3 com z1z2z3 =z1,z3z2
Em geral tfracz1z2,z3neqtfracz1,z3z2 (por exemplo, com z1=z2=z3=2 1/2neq2). Então a operação não é associativa.

Passo 4

(c) Elemento neutro? Buscamos einC^* tal que para todo z valha
ze=z e ez=z
A primeira igualdade dá e=1. Inserindo na segunda: tfrac1z=zimplies z^2=1, o que só ocorre para z=pm1, não para todo z. Portanto, não há elemento neutro global.

Passo 5

(d) Inversos? Num grupo precisaríamos de b tal que
zb=e e bz=e,
mas já falhamos em achar e. Sem elemento neutro, não faz sentido ter inversos de forma usual, e de fato não há inversos bidirecionais para todos os z.

Passo 6

(e) Comutatividade? Em geral
z1z2 neq z2z1,
por exemplo tfrac12neqtfrac21. Logo a operação não é comutativa.

Resposta

(a) infinita
(b) não é associativa
(c) não possui elemento neutro
(d) não possui inversos para todos os elementos
(e) não é comutativa

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