Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura
de todas as simetrias do quadrado (grupo diedral) com a operação binária
de composição padrão.
(20 pt)
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura
(20 pt)
Passo 1
O enunciado nos dá a estrutura
, onde
é o conjunto de todas as simetrias de um quadrado:
é a rotação de
no sentido anti-horário,
rotação de
, e
é uma reflexão. A operação
é a composição usual de transformações. Preciso verificar os quatro axiomas de grupo:
- Fechamento;
- Associatividade;
- Elemento neutro;
- Inversos.
Passo 2
Fechamento: toda composição de isometrias do quadrado é novamente uma isometria do quadrado. Como
contém todas as rotações e reflexões possíveis, para quaisquer
temos
Isso decorre do fato de que o conjunto das isometrias de uma figura fechada é fechado sob composição.
Passo 3
Associatividade: a composição de aplicações (funções) é sempre associativa. Logo, para quaisquer
,
Não precisamos calcular caso a caso, pois isso vale para qualquer função.
Passo 4
Elemento neutro: a transformação identidade
, que envia cada ponto do quadrado em si mesmo, pertence a
e satisfaz, para todo
,
Passo 5
Inversos:
- Para rotações:
, pois . - Para reflexões: cada reflexão
é involutória, ou seja,
logo
.
Resposta
A estrutura
satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inversos, logo é de fato um grupo (o grupo diedral de ordem 8).