Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura (D4, circ) de todas as simetrias do quadrado (grupo diedral) com a operação binária circ: D4 times D4 mapsto D4 de composição padrão.
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Passo 1

O enunciado nos dá a estrutura (D4,circ), onde
D4=e,;r,;r^2,;r^3,;s,;sr,;sr^2,;sr^3
é o conjunto de todas as simetrias de um quadrado: r é a rotação de 90^circ no sentido anti-horário, r^k rotação de kcdot90^circ, e s é uma reflexão. A operação circ é a composição usual de transformações. Preciso verificar os quatro axiomas de grupo:
  1. Fechamento;
  2. Associatividade;
  3. Elemento neutro;
  4. Inversos.

Passo 2

Fechamento: toda composição de isometrias do quadrado é novamente uma isometria do quadrado. Como D4 contém todas as rotações e reflexões possíveis, para quaisquer a,bin D4 temos
acirc b;in;D4,
Isso decorre do fato de que o conjunto das isometrias de uma figura fechada é fechado sob composição.

Passo 3

Associatividade: a composição de aplicações (funções) é sempre associativa. Logo, para quaisquer a,b,cin D4,
acircl(bcirc cr) ;=; l(acirc br)circ c,
Não precisamos calcular caso a caso, pois isso vale para qualquer função.

Passo 4

Elemento neutro: a transformação identidade e, que envia cada ponto do quadrado em si mesmo, pertence a D4 e satisfaz, para todo ain D4,
ecirc a = a e acirc e = a,

Passo 5

Inversos:
  • Para rotações: l(r^kr)^-1=r^4-k, pois r^kcirc r^4-k=r^4=e.
  • Para reflexões: cada reflexão sr^k é involutória, ou seja,
(sr^k)circ(sr^k)=e
logo l(sr^kr)^-1=sr^k.

Resposta

A estrutura l(D4,circr) satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inversos, logo é de fato um grupo (o grupo diedral de ordem 8).

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