Em cada um dos seguintes conjuntos, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, determine quais são espaços vetoriais, e para queles que não são esp. vetoriais mostre pelo menos uma propriedade que não é satisfeita.
Seja o conjunto de todas as matrizes da forma com as operações de soma e multiplicação por escalar normal de matrizes.
Passo 1
O enunciado define
V = gla & 11 & bmid a,binRgr
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em matrizes. Pergunta-se se V é um espaço vetorial sobre R.
Passo 2
Verificamos a propriedade de fechamento sob adição. Tome
M1 = a & 11 & b, M2 = c & 11 & d
ambas em V. Então
M1 + M2 = a+c & 1+11+1 & b+d = a+c & 22 & b+d
O resultado tem entradas off-diagonal iguais a 2, não a 1. Logo M1+M2notin V, ou seja, Vnão é fechado sob adição.
Resposta
V não é espaço vetorial, pois falha a propriedade de fechamento da soma.