Calcule o produto vetorial W=U times V e verifique se W é ortogonal a U e a V :
U=(0,1,-2) e V=(1,4,0.5)

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial vec W = vec U times vec V em R^3 e depois verificar se vec W é ortogonal a vec U e a vec V. Para isso vamos usar a fórmula do produto vetorial e depois a definição de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Seja
vec U=(U1,U2,U3) e vec V=(V1,V2,V3). A fórmula do produto vetorial é
vec U times vec V = l(U2V3 - U3V2,; U3V1 - U1V3,; U1V2 - U2V1r)
Aqui temos vec U=(0,1,-2) e vec V=(1,4,0.5), ou seja U1=0, U2=1, U3=-2, V1=1, V2=4, V3=0.5.

Passo 3

Vamos calcular cada componente de vec W=vec Utimesvec V:
W1 = U2V3 - U3V2 = 1cdot0.5 - (-2)cdot4 = 0.5 +8 = 8.5,
W2 = U3V1 - U1V3 = (-2)cdot1 - 0cdot0.5 = -2 - 0 = -2,
W3 = U1V2 - U2V1 = 0cdot4 - 1cdot1 = -1

Passo 4

Portanto
vec W = vec U times vec V = (8.5,,-2,,-1)

Passo 5

Para verificar se vec W é ortogonal a vec U, calculamos o produto escalar
vec W cdot vec U = 8.5cdot0 + (-2)cdot1 + (-1)cdot(-2) = 0 -2 +2 = 0
Como deu zero, vec Wperp vec U.

Passo 6

Para verificar se vec W é ortogonal a vec V, fazemos
vec W cdot vec V = 8.5cdot1 + (-2)cdot4 + (-1)cdot0.5 = 8.5 -8 -0.5 = 0
Também deu zero, logo vec Wperp vec V.

Resposta

vec W = vec U times vec V = (8.5,,-2,,-1), e de fato vec W é ortogonal tanto a vec U quanto a vec V.

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