Em cada um dos seguintes conjuntos, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, determine quais são espaços vetoriais, e para queles que não são esp. vetoriais mostre pelo menos uma propriedade que não é satisfeita.
Seja V o conjunto de todos (x, y, z) in R^3 com as operações
(x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime)=(x+x^prime, y+y^prime, z+z^prime)
e alpha(x, y, z)=(alpha x, y, z)

Passo 1

O exercício pede para a gente verificar se o conjunto V={(x,y,z)∈ℝ^3} com a soma usual e com a multiplicação por escalar dada por α(x,y,z)=(αx,y,z) forma ou não um espaço vetorial. Para resolver, vamos usar os axiomas de espaço vetorial e checar qual deles falha.

Passo 2

O principal axioma que costuma falhar em operações estranhas de escalar é a distributividade da soma de escalares sobre o vetor, ou seja, precisamos testar se vale sempre
(α+β)v ,=, αv + βv
para todo v=(x,y,z) e quaisquer escalars α,β∈ℝ.

Passo 3

Vamos calcular os dois lados para v=(x,y,z):
(α+β)(x,y,z) = ((α+β)x,,y,,z)
por outro lado,
α(x,y,z) + β(x,y,z) = (αx,y,z) + (βx,y,z) = (αx+βx,,y+y,,z+z) = ((α+β)x,,2y,,2z)
Como y e z não foram multiplicados por α+β no lado direito, obtemos em geral
(α+β)(x,y,z) = ((α+β)x,y,z) neq ((α+β)x,2y,2z) = αv+βv

Passo 4

Portanto, o axioma de distributividade da soma de escalares não se satisfaz em V, mostrando que V não é um espaço vetorial.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois falha o axioma
(α+β)v = αv + βv

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