Em cada um dos seguintes conjuntos, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, determine quais são espaços vetoriais, e para queles que não são esp. vetoriais mostre pelo menos uma propriedade que não é satisfeita.
Seja
o conjunto de todos
com as operações
e
Seja
Passo 1
O exercício pede para a gente verificar se o conjunto V={(x,y,z)∈ℝ^3} com a soma usual e com a multiplicação por escalar dada por
forma ou não um espaço vetorial. Para resolver, vamos usar os axiomas de espaço vetorial e checar qual deles falha.
Passo 2
O principal axioma que costuma falhar em operações estranhas de escalar é a distributividade da soma de escalares sobre o vetor, ou seja, precisamos testar se vale sempre
para todo
e quaisquer escalars
.
Passo 3
Vamos calcular os dois lados para
:
por outro lado,
Como
e
não foram multiplicados por
no lado direito, obtemos em geral
Passo 4
Portanto, o axioma de distributividade da soma de escalares não se satisfaz em V, mostrando que V não é um espaço vetorial.
Resposta
V não é um espaço vetorial, pois falha o axioma