Seja
com a soma e multiplicação natural de
.
(a) Se
e
estiverem em
, será que
estará em
? Por quê?
(b) Determine um vetor específico
em
e um escalar específico
tal que
não pertence a
. (Isso é suficiente para mostrar que
não é um espaço vetorial.)
(a) Se
(b) Determine um vetor específico
Passo 1
O exercício define o conjunto
com as operações usuais. O conteúdo é verificar se
é um subespaço de
, testando fechamento em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Para mostrar fechamento em soma, tomamos
e
, ou seja,
. Então
Passo 3
Passo 4
Para violar a propriedade de multiplicação por escalar, basta achar
e
tais que
. Escolhemos, por exemplo,
Passo 5
Passo 6
Então
Passo 7
Passo 8
cujo ambas as coordenadas são negativas, de modo que
.
Resposta
(a) Sim, porque a soma de coordenadas não-negativas permanece não-negativa, garantindo fechamento em soma. (b) Por exemplo, se
e
, então
.