Seja V=(x, y) in R^2: x >= 0, y >= 0 com a soma e multiplicação natural de R^2.
(a) Se u e v estiverem em V, será que u+v estará em V ? Por quê?
(b) Determine um vetor específico v em V e um escalar específico c tal que c v não pertence a V. (Isso é suficiente para mostrar que V não é um espaço vetorial.)

Passo 1

O exercício define o conjunto V = (x,y)in R^2: x>=0, y>=0 com as operações usuais. O conteúdo é verificar se V é um subespaço de R^2, testando fechamento em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Para mostrar fechamento em soma, tomamos u=(x1,y1)in V e v=(x2,y2)in V, ou seja, x1,y1,x2,y2>=0. Então

Passo 3

u+v=(x1+x2,,y1+y2). Como soma de números não-negativos é não-negativa, temos x1+x2>=0 e y1+y2>=0, logo u+vin V.

Passo 4

Para violar a propriedade de multiplicação por escalar, basta achar vin V e cin R tais que cvnotin V. Escolhemos, por exemplo,

Passo 5

v=(1,1)in Ve c=-1

Passo 6

Então

Passo 7

cv=(-1cdot1,,-1cdot1)=(-1,-1),

Passo 8

cujo ambas as coordenadas são negativas, de modo que cvnotin V.

Resposta

(a) Sim, porque a soma de coordenadas não-negativas permanece não-negativa, garantindo fechamento em soma. (b) Por exemplo, se v=(1,1) e c=-1, então cv=(-1,-1)notin V.

Exercícios relacionados