Seja A uma matriz 3 times 2 fixa e seja H o conjunto de todas as matrizes X in M2 times 4(R), com a propriedade de que A cdot X=0 (a matriz nula em M3 times 4(R) ). Determine se H é um subespaço de M2 times 4.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz fixa Ain M3times 2(R) e define H=Xin M2times 4(R)mid A,X=0. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais e uso de propriedades de operações com matrizes. Para resolver, vamos usar a definição de subespaço e o fato de que multiplicação de matrizes é bilinear.

Passo 2

Primeiro, mostramos que H não é vazio, isto é, contém a matriz zero 02times 4. Como A é 3×2 e 02times 4 é 2×4, o produto Acdot 02times 4 é a matriz nula 3×4. Logo A,02times 4=03times 4, o que implica 02times 4in H.

Passo 3

Depois, verificamos fechamento sob soma. Sejam X,Yin H. Então por definição A,X=0 e A,Y=0. Pela propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos
A,(X+Y)=A,X + A,Y = 0 + 0 = 0
Isto mostra que X+Yin H.

Passo 4

Por fim, testamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja cinR e Xin H, ou seja, A,X=0. Então pelo fator comum na multiplicação:
A,(cX)=c,(A,X)=ccdot 0=0
Logo cXin H. Como H contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que é um subespaço.

Resposta

Sim. O conjunto H é um subespaço de M2times 4(R).

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