Seja
uma matriz
fixa e seja
o conjunto de todas as matrizes
, com a propriedade de que
(a matriz nula em
). Determine se
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz fixa
e define
. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais e uso de propriedades de operações com matrizes. Para resolver, vamos usar a definição de subespaço e o fato de que multiplicação de matrizes é bilinear.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
não é vazio, isto é, contém a matriz zero
. Como
é 3×2 e
é 2×4, o produto
é a matriz nula 3×4. Logo
, o que implica
.
Passo 3
Depois, verificamos fechamento sob soma. Sejam
. Então por definição
e
. Pela propriedade distributiva da multiplicação de matrizes, temos
Isto mostra que
.
Passo 4
Por fim, testamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, ou seja,
. Então pelo fator comum na multiplicação:
Logo
. Como
contém o zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que é um subespaço.
Resposta
Sim. O conjunto
é um subespaço de
.