Em cada um dos seguintes conjuntos, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, determine quais são espaços vetoriais, e para queles que não são esp. vetoriais mostre pelo menos uma propriedade que não é satisfeita.
Seja V=(x, y) in R^2: x cdot y>0 com as operações
(x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x x^prime, y y^prime)
e alpha(x, y)=(alpha x^alpha, y^alpha)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
V = (x,y)in R^2 : xcdot y > 0
com a “soma”
(x,y)oplus(x',y') = (x,x',,y,y')
e a “multiplicação por escalar”
alpha,(x,y) = l(alpha,x^alpha,,y^alphar)
Queremos ver se V, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Vamos primeiro checar a estrutura de grupo abeliano em relação a oplus.
  1. (Fechamento) Se x,y>0 e x',y'>0, então
(x,x')(y,y') = (x,y)(x',y')>0,
logo (x,y)oplus(x',y')in V.
2. (Associatividade e comutatividade) Decorem-se diretamente das propriedades de multiplicação em R.
3. (Elemento neutro) Procuramos (e1,e2) tal que
(x,e1,;y,e2)=(x,y). Logo e1=e2=1 e (1,1)in V pois 1cdot1>0.
4. (Inverso) Dado (x,y) com x,y>0, o inverso em oplus é (1/x,;1/y), que está em V porque (1/x)(1/y)=1/(xy)>0.
Até aqui, (V,oplus) é de fato um grupo abeliano.

Passo 3

Agora testamos a “multiplicação por escalar”. Um dos axiomas exige o fechamento: para todo alphain R e (x,y)in V, deve-se ter alpha,(x,y)in V.
Mas
alpha,(x,y) = l(alpha,x^alpha,,y^alphar)
e seu produto de coordenadas é
l(alpha,x^alphar),l(y^alphar) = alpha,(x,y)^alpha
Se alpha<0, então alpha,(x,y)^alpha<0 (pois (x,y)^alpha>0), e assim alpha,(x,y)notin V. Ou seja, falha o fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois já não se fecha em relação à multiplicação por escalar (por exemplo, se alpha=-1 e (x,y)=(2,3), então alpha,(x,y)=(-1/2,,1/3) e (-1/2)cdot(1/3)<0, saindo de V).

Exercícios relacionados