Em cada um dos seguintes conjuntos, junto com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas, determine quais são espaços vetoriais, e para queles que não são esp. vetoriais mostre pelo menos uma propriedade que não é satisfeita.
Seja
com as operações
e
Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a “soma”
e a “multiplicação por escalar”
Queremos ver se
, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Vamos primeiro checar a estrutura de grupo abeliano em relação a
.
- (Fechamento) Se
e , então
logo
.
2. (Associatividade e comutatividade) Decorem-se diretamente das propriedades de multiplicação em .
3. (Elemento neutro) Procuramos tal que
. Logo
e
pois
.
4. (Inverso) Dado com
, o inverso em
é
, que está em
porque
.
2. (Associatividade e comutatividade) Decorem-se diretamente das propriedades de multiplicação em
3. (Elemento neutro) Procuramos
4. (Inverso) Dado
Até aqui,
é de fato um grupo abeliano.
Passo 3
Agora testamos a “multiplicação por escalar”. Um dos axiomas exige o fechamento: para todo
e
, deve-se ter
.
Mas
Mas
e seu produto de coordenadas é
Se
, então
(pois
), e assim
. Ou seja, falha o fechamento sob multiplicação por escalar.