Encontre uma base para o conjunto de vetores em R^3 pertencentes ao plano x+2 y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^3 definido pelo plano
x + 2y + z = 0
O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos expressar um vetor genérico desse plano em termos de parâmetros livres e então extrair vetores geradores independentes.

Passo 2

Se (x,y,z) pertence ao plano, então
x + 2y + z = 0
implica
x = -2y - z
Logo, um vetor genérico do plano pode ser escrito como
(x,y,z) = (-2y - z,;y,;z)

Passo 3

Agora identificamos y e z como parâmetros livres. Colocando y = s e z = t, temos
(x,y,z) = s,(-2,1,0) + t,(-1,0,1)
Isso mostra que todo vetor do plano é combinação linear de (-2,1,0) e (-1,0,1), e esses vetores são claramente independentes.

Resposta

Uma base para o plano x+2y+z=0 em R^3 é
,(-2,1,0),;(-1,0,1)

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