Calcule os seguintes determinantes.
|rrrrr4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A = 4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1& 2
O conteúdo usado será expansão por cofactores (ou Laplace), aproveitando linhas ou colunas com muitos zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Escolhemos expandir por cofactores ao longo da segunda linha de A, pois só o elemento a23=2 é não nulo. O determinante fica
det(A) ;=;sumj=1^5 a2j(-1)^2+jM2j ;=;a23(-1)^2+3M23 ;=;2cdot(-1),M23 ;=;-2,M23,
onde M23 é o menor obtido eliminando a segunda linha e a terceira coluna de A.

Passo 3

O menor M23 é o determinante da matriz 4times4
B = 4 & 0 & 3 & -5 7 & 3 & 4 & -8 5 & 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1 & 2
formada pelas colunas 1,2,4,5 e pelas linhas 1,3,4,5 de A.

Passo 4

Para calcular det(B) expandimos por cofactores na quarta linha de B, que tem dois zeros:
det(B) = sumj=1^4 b4j(-1)^4+jN4j = b43(-1)^7N43 + b44(-1)^8N44 = (-1),(-1),N43 + (2),(1),N44 = N43 + 2,N44,
onde N43 e N44 são os menores 3times3 obtidos removendo a quarta linha de B e, respectivamente, a coluna 3 ou a coluna 4.

Passo 5

Os dois menores 3times3 são
N43 = 4 & 0 & -5 7 & 3 & -8 5 & 0 & -3 , N44 = 4 & 0 & 3 7 & 3 & 4 5 & 0 & 2
Calculando cada um por regra de Sarrus ou cofactores:
N43 = 4,(3cdot(-3)-(-8)cdot0),-,0,+(-5),(7cdot0-3cdot5) =4cdot(-9)+(-5)cdot(-15) =-36+75=39,
N44 = 4,(3cdot2-4cdot0),-,0,+3,(7cdot0-3cdot5) =4cdot6+3cdot(-15) =24-45=-21

Passo 6

Substituindo em det(B)=N43+2N44 temos
det(B)=39+2cdot(-21)=39-42=-3
Então o determinante original é
det(A) = -2,M23 = -2cdot(-3)=6

Resposta

6

Exercícios relacionados