Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço
de todos os polinômios reais?
;
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todos os polinômios com coeficientes reais e define
Para que
seja subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
-
. - Fechamento sob soma:
. - Fechamento sob multiplicação por escalar:
.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero pertence a
. Por convenção
, logo
e portanto
. Isso já é suficiente para concluir que
não é subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 3
Mesmo sem a primeira condição, observamos também que, se
e
, ambos têm grau
, mas
cujo grau é
, ou seja, menor que 2. Assim
, falhando a segunda propriedade de fechamento.
Passo 4
Finalmente, para qualquer
e escalar
, tem-se
o que também demonstra a falha na terceira propriedade de fechamento sob escalares.