Quais dos conjuntos abaixo são subespaços do espaço P(R) de todos os polinômios reais?
W=p(x) in P(R): grau(p) >= 2;

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P(R) de todos os polinômios com coeficientes reais e define
W = ,p(x)in P(R) : deg(p)>=2
Para que W seja subespaço de P(R), precisamos verificar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento sob soma: p,qin Wimplies p+qin W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: pin W,;alphainRimplies alpha pin W.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero pertence a W. Por convenção deg(0)=-infty, logo
deg(0)<2
e portanto 0notin W. Isso já é suficiente para concluir que W não é subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Mesmo sem a primeira condição, observamos também que, se p(x)=x^2 e q(x)=-x^2, ambos têm grau >=2, mas
p(x)+q(x)=0,
cujo grau é -infty, ou seja, menor que 2. Assim p+qnotin W, falhando a segunda propriedade de fechamento.

Passo 4

Finalmente, para qualquer pin W e escalar alpha=0, tem-se
0cdot p(x)=0notin W,
o que também demonstra a falha na terceira propriedade de fechamento sob escalares.

Resposta

W não é subespaço de P(R).

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