4- Resolva a equação a seguir pelo método de Newton-Raphson, com a estimativa inicial inicia de 350 para iniciar as interações do método.
10^-9[723^4-(T1+273)^4]=1,3(T1-10^-94[723^4-(T1+273)^4]-298)^43

Passo 1

O enunciado pede resolver numericamente, pelo método de Newton–Raphson, a equação
10^-9l[723^4 - (T1+273)^4r] ;=;1,3l(T1 - tfrac10^-94l[723^4 - (T1+273)^4r] - 298r)^tfrac43
com estimativa inicial T1^(0)=350. Vamos usar o método iterativo de Newton, que exige definir
1. a função residual f(T1) de modo que f(T1)=0 seja a equação original,
2. sua derivada f'(T1),
3. a iteração
T1^(n+1) = T1^(n) - fl(T1^(n)r)f'l(T1^(n)r)

Passo 2

Definimos
f(T1) = 10^-9l[723^4 - (T1+273)^4r];-;1,3l(T1 - 10^-94l[723^4 - (T1+273)^4r] - 298r)^tfrac43
Para a derivada aplicamos regra da cadeia e produto:
f'(T1) = -4cdot10^-9(T1+273)^3 ;-;43cdot1,3l(T1 - tfrac10^-94[723^4 - (T1+273)^4] - 298r)^tfrac13 l(1 + 10^-9(T1+273)^3r)

Passo 3

Primeira iteração ( n=0, T1^(0)=350):
1. Calcule A=723^4approx2,732456times10^11 e B=(350+273)^4=(623)^4approx1,506!times10^11.
2. f(350)=10^-9(A-B)-1,3l(350-tfrac10^-94(A-B)-298r)^4/3approx122,6 - 76,8 = 45,8 3. (350+273)^3=623^3approx2,418times10^8, então
f'(350)approx -4cdot10^-9cdot2,418times10^8 -43cdot1,3,(21,35)^1/3(1+10^-9cdot2,418times10^8) approx -6,93
4. Atualização
T1^(1) = 350 - 45,8-6,93approx356,61

Passo 4

Segunda iteração ( T1^(1)approx356,61):
1. B=(356,61+273)^4=(629,61)^4approx1,5703times10^11.
2. f(356,61)approx10^-9(A-B)-1,3l(356,61-tfrac10^-94(A-B)-298r)^4/3approx116,22 -118,72=-2,50 3. (629,61)^3approx2,4957times10^8,
f'(356,61)approx -0,998 - 43cdot1,3,(29,56)^1/3(1+0,2496)approx -7,69
4.
T1^(2) = 356,61 - -2,50-7,69approx356,29

Passo 5

Terceira iteração ( T1^(2)approx356,29):
1. B=(629,29)^4approx1,5682times10^11.
2.
f(356,29)approx116,43 - 116,99 = -0,56, f'(356,29)approx -7,68
3.
T1^(3) = 356,29 - -0,56-7,68approx356,21

Passo 6

Quarta iteração confirma convergência (diferença <10^-3 K):
T1^(4)approx356,21(De<a T<10^-4 K)

Resposta

A solução da equação pelo método de Newton–Raphson, com tolerância de 10^-3 K e T1^(0)=350, é
T1approx356,21

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