Para cada uma das seguintes curvas expressas em forma paramétrica, obtenha expressões para d yd x e d^2 yd x^2 e use essas informações para ajudar a fazer um esboço do traço da curva.
x=t^2-2 t e y=t^2-4 t.

Passo 1

Temos a curva dada em forma paramétrica por
x = t^2 - 2t, y = t^2 - 4t
Queremos achar dydx e d^2ydx^2 em função de t e, com isso, usar a análise de tangentes (horizontal, vertical) e concavidade (sinal de d^2ydx^2) para guiar o esboço do traço.

Passo 2

Calculamos primeiro dxdt e dydt:
dxdt = 2t - 2, dydt = 2t - 4
Logo, a derivada primeira é
dydx = dydtdxdt = 2t - 42t - 2 = t - 2t - 1, t neq 1

Passo 3

Para a segunda derivada, usamos
d^2ydx^2 = ddt!l(dydxr)/dxdt
Calculando a derivada de t-2t-1 em relação a t:
ddtl(t-2t-1r) = (1)(t-1) - (t-2)(1)(t-1)^2 = 1(t-1)^2
Dividindo por dxdt=2(t-1)
d^2ydx^2 = 1/(t-1)^22(t-1) = 12,(t-1)^3

Passo 4

Análise de tangentes e concavidade:
  • Tangente vertical em t=1, pois dxdt=0 ali.
  • Tangente horizontal em t=2, pois dydx=0 quando t=2.
  • dydx>0 para t<1 e para t>2; dydx<0 em 1<t<2.
  • d^2ydx^2<0 para t<1 (concavidade para baixo) e d^2ydx^2>0 para t>1 (concavidade para cima).

Passo 5

Alguns pontos-chave para guiar o esboço:
t=0&:,(x,y)=(0,0), t=1&:,(x,y)=(-1,-3),vertical, t=2&:,(x,y)=(0,-4),horizontal, t=3&:,(x,y)=(3,-3), t=4&:,(x,y)=(8,0)
Assim o traço desce de concavidade para baixo até t=1, faz tangente vertical em (-1,-3), passa a concavidade para cima, vai até tangente horizontal em (0,-4) e cresce de volta.

Resposta

dydx = t-2t-1, d^2ydx^2 = 12,(t-1)^3
Esboço:
  • Tangente vertical em t=1 no ponto (-1,-3).
  • Tangente horizontal em t=2 no ponto (0,-4).
  • Concavidade para baixo quando t<1 e para cima quando t>1.
  • Passa pelos pontos (0,0),(-1,-3),(0,-4),(3,-3),(8,0).

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