Para cada uma das seguintes curvas expressas em forma paramétrica, obtenha expressões para
e
e use essas informações para ajudar a fazer um esboço do traço da curva.
e
.
Passo 1
Temos a curva dada em forma paramétrica por
Queremos achar
e
em função de
e, com isso, usar a análise de tangentes (horizontal, vertical) e concavidade (sinal de
) para guiar o esboço do traço.
Passo 2
Calculamos primeiro
e
:
Logo, a derivada primeira é
Passo 3
Para a segunda derivada, usamos
Calculando a derivada de
em relação a
:
Dividindo por
dá
Passo 4
Análise de tangentes e concavidade:
- Tangente vertical em
, pois ali. - Tangente horizontal em
, pois quando . -
para e para ; em . -
para (concavidade para baixo) e para (concavidade para cima).
Passo 5
Alguns pontos-chave para guiar o esboço:
Assim o traço desce de concavidade para baixo até
, faz tangente vertical em
, passa a concavidade para cima, vai até tangente horizontal em
e cresce de volta.
Resposta
Esboço:
- Tangente vertical em
no ponto . - Tangente horizontal em
no ponto . - Concavidade para baixo quando
e para cima quando . - Passa pelos pontos
.