Para que valores de
temos
?
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os
tais que
Aqui o conteúdo é comparar uma função exponencial
com uma potência polinomial
. Vamos estudar primeiro onde ocorrem as igualdades
(as “fronteiras” da desigualdade) e depois verificar em quais intervalos a diferença
é positiva.
Passo 2
Encontramos imediatamente duas soluções exatas à equação
pois para
vem
e
, e para
vem
e
. Logo
e
são raízes.
Passo 3
Para achar a possível raiz negativa, faça
com
. A equação vira
ou seja
Tomando logaritmo natural em ambos os lados dá
Define
. Vê-se que
é contínua,
quando
e
quando
, e
. Logo há uma única raiz
. Assim a raiz negativa é
Passo 4
Defina
. Ao estudar o sinal de
:
- Para
, tem e , logo . - Em
, , e para verifica-se (por exemplo ). - Em
, . Para , por exemplo em , , logo . - Em
, . Para , o termo cresce muito mais rápido que , de modo que .
Passo 5
Concluímos que a desigualdade
é satisfeita exatamente quando
, isto é em
onde
.