Para que valores de x temos 4^x>x^4 ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os xinR tais que
4^x > x^4
Aqui o conteúdo é comparar uma função exponencial 4^x com uma potência polinomial x^4. Vamos estudar primeiro onde ocorrem as igualdades 4^x=x^4 (as “fronteiras” da desigualdade) e depois verificar em quais intervalos a diferença 4^x-x^4 é positiva.

Passo 2

Encontramos imediatamente duas soluções exatas à equação
4^x = x^4,
pois para x=2 vem 4^2=16 e 2^4=16, e para x=4 vem 4^4=256 e 4^4=256. Logo x=2 e x=4 são raízes.

Passo 3

Para achar a possível raiz negativa, faça x=-a com a>0. A equação vira
4^-a = (-a)^4 = a^4,
ou seja
14^a = a^4 Longrightarrow 4^a,a^4 = 1
Tomando logaritmo natural em ambos os lados dá
aln 4 + 4ln a = 0
Define j(a)=aln4 +4ln a. Vê-se que j(a) é contínua, j(a)to -infty quando ato0^+ e j(a)to+infty quando ato+infty, e j'(a)=ln4 +4/a>0. Logo há uma única raiz a0approx0,766. Assim a raiz negativa é
x0 = -a0 approx -0,766

Passo 4

Defina h(x)=4^x-x^4. Ao estudar o sinal de h:
  • Para xto -infty, tem 4^xto0 e x^4to+infty, logo h(x)<0.
  • Em x=x0approx-0,766, h=0, e para xin(x0,2) verifica-se h(x)>0 (por exemplo h(0)=1>0).
  • Em x=2, h=0. Para 2<x<4, por exemplo em x=3, 4^3=64<3^4=81, logo h<0.
  • Em x=4, h=0. Para x>4, o termo 4^x cresce muito mais rápido que x^4, de modo que h(x)>0.

Passo 5

Concluímos que a desigualdade 4^x>x^4 é satisfeita exatamente quando h(x)>0, isto é em
xinl(x0,2r);cup;(4,infty),
onde x0approx-0,766.

Resposta

xinl(-0,766ldots,,2r);cup;(4,infty).

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