Para cada uma das seguintes curvas expressas em forma paramétrica, obtenha expressões para
e
e use essas informações para ajudar a fazer um esboço do traço da curva.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede
,
e um esboço do traço. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas em parametrizações e depois análise de sinais para tangentes e concavidade.
Passo 2
Calculamos as derivadas em relação a
:
Passo 3
A derivada primeira é
Passo 4
Para a segunda derivada usamos
Diferenciando
com
,
dá
então
Passo 5
Tangente vertical ocorre quando
, isto é
. Os pontos são
Tangente horizontal ocorre quando
, ou seja
.
Passo 6
Estudo de sinal de
:
- Para
: e . - Para
: , . - Para
: , .
Estudo de concavidade pelo sinal de
:
-
: numerador< , denominador> concavidade para baixo. -
: numerador< , denominador< concavidade para cima. -
: numerador> , denominador< concavidade para baixo. -
: numerador> , denominador> concavidade para cima.
Passo 7
Ponto de inflexão em
dá
com inclinação
. Os pontos de tangente horizontal em
são
Passo 8
Com essas informações o esboço é um “S” invertido que toca a reta
em três pontos
,
,
; em
tem tangentes verticais e em
horizontais; muda concavidade em
. Para
o ramo vai junto à reta
de forma assintótica.
Resposta
Esboço: curva em “S” invertido passando pelos pontos
,
,
, com tangentes verticais em
, horizontais em
e ponto de inflexão em
.