Para cada uma das seguintes curvas expressas em forma paramétrica, obtenha expressões para d yd x e d^2 yd x^2 e use essas informações para ajudar a fazer um esboço do traço da curva.
x=t^3-3 t-2 e y=t^3-t-2.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=t^3-3t-2,
y(t)=t^3-t-2,
e pede dydx, d^2ydx^2 e um esboço do traço. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas em parametrizações e depois análise de sinais para tangentes e concavidade.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=3t^2-3=3(t^2-1),
dydt=3t^2-1

Passo 3

A derivada primeira é
dydx=dydtdxdt =3t^2-13(t^2-1)

Passo 4

Para a segunda derivada usamos
d^2ydx^2 =ddtl(dydxr)dxdt
Diferenciando dydx=uv com u=3t^2-1, v=3(t^2-1)
ddtl(tfracdydxr) =v,u' - u,v'v^2 =(3t^2-3)(6t)-(3t^2-1)(6t)[3(t^2-1)]^2 =-4t3(t^2-1)^2,
então
d^2ydx^2 =-4t3(t^2-1)^23(t^2-1) =-4t9,(t^2-1)^3

Passo 5

Tangente vertical ocorre quando dxdt=0, isto é t=pm1. Os pontos são
t=1colon (x,y)=(-4,-2), t=-1colon (x,y)=(0,-2)
Tangente horizontal ocorre quando dydt=0, ou seja t=pm1raiz3.

Passo 6

Estudo de sinal de dydx:
  • Para |t|>1: t^2-1>0 e 3t^2-1>0 Rightarrow dydx>0.
  • Para 1/raiz3<|t|<1: t^2-1<0, 3t^2-1>0 Rightarrow dydx<0.
  • Para |t|<1/raiz3: t^2-1<0, 3t^2-1<0 Rightarrow dydx>0.
Estudo de concavidade pelo sinal de d^2ydx^2=-4t9(t^2-1)^3:
  • t>1: numerador< 0, denominador> 0Rightarrow concavidade para baixo.
  • 0<t<1: numerador< 0, denominador< 0Rightarrow concavidade para cima.
  • -1<t<0: numerador> 0, denominador< 0Rightarrow concavidade para baixo.
  • t<-1: numerador> 0, denominador> 0Rightarrow concavidade para cima.

Passo 7

Ponto de inflexão em t=0 (x,y)=(-2,-2) com inclinação dydx=tfrac13. Os pontos de tangente horizontal em t=pm1/raiz3 são
t=tfrac1raiz3colon (x,y)approx(-3,54,-2,38), t=-tfrac1raiz3colon (x,y)approx(-0,46,-1,62)

Passo 8

Com essas informações o esboço é um “S” invertido que toca a reta y=-2 em três pontos (-4,-2), (-2,-2), (0,-2); em ,t=pm1 tem tangentes verticais e em t=pm1/raiz3 horizontais; muda concavidade em t=-1,0,1. Para ttopminfty o ramo vai junto à reta y=x de forma assintótica.

Resposta

dydx=3t^2-13(t^2-1), d^2ydx^2=-4t9,(t^2-1)^3
Esboço: curva em “S” invertido passando pelos pontos (-4,-2), (-2,-2), (0,-2), com tangentes verticais em t=pm1, horizontais em t=pm1/raiz3 e ponto de inflexão em (-2,-2).

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