1. Encontre a reta tangente à curva parametrizada por x=t^2-t e y=t^2+t no ponto onde t=1.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a reta tangente à curva dada por
x(t)=t^2 - t, y(t)=t^2 + t
no ponto onde t=1.
Conteúdo da matéria: derivadas de curvas paramétricas e equação da reta tangente.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o ponto l(x(1),y(1)r).
  2. Encontrar dydx usando derivadas paramétricas, isto é
dydx = dydtdxdt
  1. Montar a equação da reta no formato ponto‐declive:
    ;y - y0 = m,(x - x0).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto onde t=1.
  • x(1) = 1^2 - 1 = 0.
  • y(1) = 1^2 + 1 = 2.
    Ou seja, o ponto de tangência é P=(0,2).

Passo 3

Agora, derivadas em relação a t:
  • dfracdxdt = dfracddt(t^2 - t) = 2t - 1.
  • dfracdydt = dfracddt(t^2 + t) = 2t + 1.

Passo 4

A inclinação m da reta tangente é dada por
m = dy/dtdx/dt|t=1 = 2cdot1 + 12cdot1 - 1 = 31 = 3

Passo 5

Com P=(0,2) e m=3, usamos a forma ponto‐declive:
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 2 = 3,(x - 0)

Resposta

A reta tangente é
boxedy = 3x + 2

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