9^circ ) Questão.

Seja a sequência definida pela recorrência
l x0=1 xn+1=[xn^2+3][2 xn]^-2,
convergindo para um valor positivo, então encontre o seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
x0=1, xn+1=l[xn^2+3r]l[2xnr]^-2,
e afirma que ela converge para um valor positivo. O conteúdo aqui é determinar esse limite usando a ideia de que, se xnto L e a função que gera a recorrência é contínua, então L satisfaz a mesma relação de recorrência.

Passo 2

Supondo que xnto L>0, a recorrência
xn+1=xn^2+3(2xn)^2
implica, no limite,
L=L^2+3(2L)^2

Passo 3

Resolver a equação de L:
L=L^2+34L^2 Longrightarrow 4L^3=L^2+3 Longrightarrow 4L^3-L^2-3=0

Passo 4

Fatoramos o polinômio cúbico procurando raízes reais: testando L=1 temos
4cdot1^3-1^2-3=4-1-3=0,
logo (L-1) é um fator. A divisão polinomial dá
4L^3-L^2-3 = (L-1)l(4L^2+3L+3r)
O trinômio 4L^2+3L+3 não tem raízes reais (discriminante negativo), sobrando apenas L=1.

Passo 5

Verificamos que L=1 é compatível com x0=1 (na verdade a sequência já é constante), e é o único limite real e positivo.

Resposta

O limite da sequência é 1.

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