) Questão.
Seja a sequência definida pela recorrência
convergindo para um valor positivo, então encontre o seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e afirma que ela converge para um valor positivo. O conteúdo aqui é determinar esse limite usando a ideia de que, se
e a função que gera a recorrência é contínua, então
satisfaz a mesma relação de recorrência.
Passo 2
Supondo que
, a recorrência
implica, no limite,
Passo 3
Resolver a equação de
:
Passo 4
Fatoramos o polinômio cúbico procurando raízes reais: testando
temos
logo
é um fator. A divisão polinomial dá
O trinômio
não tem raízes reais (discriminante negativo), sobrando apenas
.
Passo 5
Verificamos que
é compatível com
(na verdade a sequência já é constante), e é o único limite real e positivo.
Resposta
O limite da sequência é
.