Para cada um dos seguintes determine dim(U+V).
U=(0, y, z) mid y, z in R e V=lang<=(1,1,0)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da soma de subespaços U e V de R^3, onde
U=(0,y,z)mid y,zinR,
V=lang<=(1,1,0)rang<=
O conteúdo é dimensão de soma de subespaços e vamos usar a fórmula
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)

Passo 2

Calculamos primeiro as dimensões individuais. O subespaço U é formado por todos os vetores cuja primeira coordenada é zero, então é isomorfo a R^2. Logo
dim(U)=2
O subespaço V é gerado por um único vetor não-nulo, então
dim(V)=1

Passo 3

Precisamos achar Ucap V. Um vetor de V tem a forma
alpha,(1,1,0)=(alpha,alpha,0)
Para estar em U, a primeira coordenada deve ser zero, isto é, alpha=0. Assim
Ucap V=(0,0,0)
e portanto
dim(Ucap V)=0

Passo 4

Aplicando a fórmula da dimensão da soma, obtemos
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)=2+1-0=3

Resposta

dim(U+V)=3

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