Para cada um dos seguintes determine dim(U+V).
Seja U subespaço de R^4 gerado por (1,1,0,0),(0,0,1,0) e V=(x, y, z, t) mid y+z=0.

Passo 1

O enunciado diz que U é o subespaço de R^4 gerado por (1,1,0,0),(0,0,1,0) e que
V=(x,y,z,t)inR^4mid y+z=0
Queremos dim(U+V). Para isso vamos usar a fórmula de Grassmann:
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)

Passo 2

Calcular dim U. Como os vetores (1,1,0,0) e (0,0,1,0) são evidentemente linearmente independentes, temos
dim U = 2

Passo 3

Calcular dim V. O conjunto V é o núcleo de uma forma linear não-trivial em R^4 (a equação y+z=0), logo
dim V = 4 - 1 = 3

Passo 4

Determinar dim(Ucap V). Um vetor genérico de U é
alpha,(1,1,0,0)+beta,(0,0,1,0)=(alpha,alpha,beta,0)
Ele pertence a V se satisfaz alpha+beta=0, isto é, beta=-alpha. Logo
Ucap V=alpha,(1,1,-1,0)mid alphainR,
que tem dimensão 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Grassmann:
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=2+3-1=4

Resposta

dim(U+V)=4

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