Sejam B uma base do R^2 e C=(1,-1),(0,2). Se
P=(ll 0 & 3 1 & 2 )
é a matriz de mudança da base C para a base B, determine a base B.

Passo 1

O enunciado nos dá a base C=c1,c2 de R^2, onde
c1=(1,-1), c2=(0,2),
e diz que
P=0&31&2
é a matriz de mudança de base de C para uma outra base B=b1,b2. Nosso objetivo é encontrar os vetores b1 e b2.

Passo 2

Como P transforma coordenadas em C nas coordenadas em B, para qualquer vetor v vale
[!v!]B ;=; P,[!v!]C
Em particular, tomando v=c1 e v=c2, as colunas de P são exatamente as coordenadas de c1 e c2 na base B:
[!c1!]B = 01, [!c2!]B = 32

Passo 3

Escrevemos essas coordenadas na forma de combinação linear em B:
c1 = 0cdot b1 + 1cdot b2, c2 = 3cdot b1 + 2cdot b2

Passo 4

Da primeira igualdade segue imediatamente
b2 = c1 = (1,-1)

Passo 5

Substituindo b2 na segunda igualdade, obtemos
3,b1 + 2,(1,-1) = (0,2) ;;Longrightarrow;; 3,b1 = (0,2) - (2,-2) = (-2,4) ;;Longrightarrow;; b1 = l(-tfrac23,tfrac43r)

Resposta

A base B é
B = ll(-tfrac23,tfrac43r),,(1,-1)r

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