Para cada um dos seguintes determine dim(U+V).
U=lang<=(1,0,1),(0,1,1)rang<= e V=lang<=(1,2,3)rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da soma de dois subespaços U e V de R^3, onde
U = lang<=(1,0,1),(0,1,1)rang<=,
V = lang<=(1,2,3)rang<=
Vamos usar a fórmula de Grassmann:
dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(Ucap V)

Passo 2

Calculamos as dimensões individuais:
Como os vetores (1,0,1) e (0,1,1) são linearmente independentes,
dim(U)=2
Como V é gerado por um único vetor não nulo,
dim(V)=1

Passo 3

Para achar dim(Ucap V), verificamos se (1,2,3) pertence a U. Buscamos escalares a,b tais que
a(1,0,1)+b(0,1,1)=(1,2,3)
Pela primeira coordenada vem a=1; pela segunda, b=2; e pela terceira, a+b=1+2=3, que coincide. Logo (1,2,3)in U, ou seja, Vsubseteq U e
dim(Ucap V)=dim(V)=1

Passo 4

Aplicando a fórmula de Grassmann:
dim(U+V)=2+1-1=2

Resposta

2

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