Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
(1,2),(3,4),(5,6) em R^2.

Passo 1

O enunciado pede verificar se o conjunto (1,2),(3,4),(5,6) é linearmente independente em R^2. Para isso, vamos usar a definição de independência linear e o argumento de dimensão.

Passo 2

Em R^2, a dimensão é 2. Logo, qualquer conjunto com mais de dois vetores é necessariamente linearmente dependente. Como nosso conjunto tem três vetores, concluímos imediatamente que ele é linearmente dependente.

Passo 3

Para ilustrar explicitamente, buscamos escalares
Isso leva ao sistema
Multiplicando a primeira equação por (2] e subtraindo da segunda, obtemos
Logo,
confirmando a dependência linear.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em R^2.

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