Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano ty em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
y^prime=t-y2 t+5 y.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = f(t,y) = t - y2,t + 5,y
e pede domínios no plano (t,y) onde, para um ponto inicial (t0,y0), haja existência e unicidade local da solução. O conteúdo que usamos é o Teorema de Picard– Lindel"of, que garante solução única se f e partial f/partial y forem contínuas num entorno de (t0,y0).

Passo 2

Identificamos o domínio natural de f observando onde o denominador não zera. Logo
D = (t,y)inR^2:;2,t + 5,y neq 0
Nesse conjunto f é claramente contínua, pois é razão de funções polinomiais com denominador não-nulo.

Passo 3

Calculamos
partial fpartial y = partialpartial yl(t-y2t+5yr) = -1,(2t+5y) - (t-y),5(2t+5y)^2 = -2t -5y -5t +5y(2t+5y)^2 = -7,t(2t+5y)^2
Esse partial f/partial y também só deixa de ser contínuo quando 2t+5y=0.

Passo 4

Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, em qualquer ponto (t0,y0) tal que 2t0+5y0neq0, existe e é única uma solução local. Como o único obstáculo é a linha
2t + 5y = 0,
podemos escolher dois domínios abertos e conexos separados por essa reta:
D+ = (t,y):2t+5y>0, D- = (t,y):2t+5y<0

Resposta

Em qualquer ponto inicial (t0,y0) com 2t0+5y0neq0 há existência e unicidade local, por exemplo em cada um destes domínios abertos e conexos:
D+ = (t,y):2t+5y>0, D- = (t,y):2t+5y<0

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