Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano
em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
e pede domínios no plano
onde, para um ponto inicial
, haja existência e unicidade local da solução. O conteúdo que usamos é o Teorema de Picard– Lindel"of, que garante solução única se
e
forem contínuas num entorno de
.
Passo 2
Identificamos o domínio natural de
observando onde o denominador não zera. Logo
Nesse conjunto
é claramente contínua, pois é razão de funções polinomiais com denominador não-nulo.
Passo 3
Calculamos
Esse
também só deixa de ser contínuo quando
.
Passo 4
Pelo Teorema de Picard– Lindel"of, em qualquer ponto
tal que
, existe e é única uma solução local. Como o único obstáculo é a linha
podemos escolher dois domínios abertos e conexos separados por essa reta:
Resposta
Em qualquer ponto inicial
com
há existência e unicidade local, por exemplo em cada um destes domínios abertos e conexos: