Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano ty em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
y^prime=2 t y1+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar domínios no plano (t,y) onde, para a EDO de primeira ordem y'=2ty1+y^2 e dado um ponto inicial arbitrário (t0,y0), a existência e unicidade de solução local estejam garantidas. O conteúdo-chave é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige que f(t,y) e partial f/partial y sejam contínuas.

Passo 2

Identificamos f(t,y)=2ty1+y^2. Note que o denominador 1+y^2 é sempre positivo, logo f não tem descontinuidade para nenhum (t,y) real. Assim, f é contínua em todo R^2.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(t,y)=2t(1+y^2)-2tycdot 2y(1+y^2)^2=2tl(1-y^2r)(1+y^2)^2
O numerador e o denominador são funções polinomiais ou somas de quadrados, portanto contínuos em todo R^2. Logo partial f/partial y também é contínua em todo o plano.

Passo 4

Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, como f e partial f/partial y são contínuas em R^2, para qualquer ponto inicial (t0,y0) existe um retângulo aberto
$$
R = {(t,y): |t-t_0|<a,; |y-y_0|<b}$$
em que a solução local existe e é única.

Passo 5

Concluímos que podemos escolher como domínio qualquer região aberta de R^2 que contenha o ponto inicial. Em particular, todo o plano R^2 satisfaz as hipóteses do teorema, garantindo existência e unicidade locais.

Resposta

Um domínio válido é todo o plano
D=(t,y):tin R,;yin R,
ou, de modo mais restrito, qualquer retângulo aberto
(t,y):|t-t0|
que contenha o ponto inicial (t0,y0).

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