Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano
em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar domínios no plano (t,y) onde, para a EDO de primeira ordem
e dado um ponto inicial arbitrário
, a existência e unicidade de solução local estejam garantidas. O conteúdo-chave é o Teorema de Picard–Lindelöf, que exige que
e
sejam contínuas.
Passo 2
Identificamos
. Note que o denominador
é sempre positivo, logo
não tem descontinuidade para nenhum
real. Assim,
é contínua em todo
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
O numerador e o denominador são funções polinomiais ou somas de quadrados, portanto contínuos em todo
Passo 4
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, como
e
são contínuas em
, para qualquer ponto inicial
existe um retângulo aberto
$$
R = {(t,y): |t-t_0|<a,; |y-y_0|<b}$$
em que a solução local existe e é única.
em que a solução local existe e é única.
Passo 5
Concluímos que podemos escolher como domínio qualquer região aberta de
que contenha o ponto inicial. Em particular, todo o plano
satisfaz as hipóteses do teorema, garantindo existência e unicidade locais.
Resposta
Um domínio válido é todo o plano
ou, de modo mais restrito, qualquer retângulo aberto
que contenha o ponto inicial
.