Calcule integral triplaR f(x, y, z) d x d y d z onde
f(x, y, z)=x e R é dado por 0 <= x <= 1,0 <= y <= x e 0 <= z <= x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: integral triplaR f(x, y, z) , dx , dy , dz, onde f(x, y, z) = x e a região R é definida por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x e 0 <= z <= x + y.
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos integrar a função f(x, y, z) sobre a região R, respeitando os limites de integração fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Os limites são:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada x, y varia de 0 a x.
  • Para cada par (x, y), z varia de 0 a x + y.
Então, a integral tripla fica assim:
integralx=0^1 integraly=0^x integralz=0^x + y x , dz , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z. Como f(x, y, z) = x não depende de z, a integral em z fica:
integralz=0^x + y x , dz = x cdot (x + y - 0) = x(x + y)
Agora, a integral fica:
integralx=0^1 integraly=0^x x(x + y) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y. Expande a expressão dentro da integral:
x(x + y) = x^2 + xy
Então, a integral em y fica:
integraly=0^x (x^2 + xy) , dy = integral0^x x^2 , dy + integral0^x xy , dy
Calculando cada parte:
integral0^x x^2 , dy = x^2 cdot y g|0^x = x^3
integral0^x xy , dy = x cdot y^22 g|0^x = x cdot x^22 = x^32
Somando:
x^3 + x^32 = 3x^32
Agora, a integral ficou:
integralx=0^1 3x^32 , dx

Passo 5

Finalmente, vamos integrar em relação a x:
integral0^1 3x^32 , dx = 32 integral0^1 x^3 , dx = 32 cdot x^44 g|0^1 = 32 cdot 14 = 38

Resposta

O valor da integral tripla é 38.

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