Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
y=(t-c)^2
que passam pelo ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais à família de parábolas dada por y=(t-c)^2, que passam por (0,1). O conteúdo é “trajetórias ortogonais” e vamos precisar: (1) escrever a família em forma implícita y=(x-c)^2; (2) obter sua derivada dy/dx; (3) substituir no critério de ortogonalidade (declive negativo recíproco); (4) resolver a ODE resultante e (5) aplicar a condição de passagem.

Passo 2

Começamos derivando implicitamente y=(x-c)^2. Como c é parâmetro constante, temos
dydx=2(x-c)

Passo 3

Precisamos eliminar c. Da equação original y=(x-c)^2 tiramos
x-c=pmraizy,
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dydx=pm2raizy

Passo 4

O declive de cada curva da família é m=pm2raizy. Para as trajetórias ortogonais o declive deve ser o negativo recíproco, ou seja
dydx|!orto=-1pm2raizy=mp12raizy

Passo 5

Temos duas ODEs separáveis:
dydx=-12raizyedydx=12raizy

Passo 6

Vamos integrar cada uma. Para dy/dx=-1/(2raizy) separamos:
2raizy,dy=-dx

Passo 7

Integrando,
integral2y^1/2dy=integral-1,dxLongrightarrow43y^3/2=-x+K1,
ou de forma implícita
x+43y^3/2=K1

Passo 8

Para dy/dx=1/(2raizy) de modo análogo obtemos
43y^3/2=x+K2Longrightarrow -x+43y^3/2=K2

Passo 9

Essas são as famílias de trajetórias ortogonais gerais. Agora impomos que passem por (0,1):
  • Em x+tfrac43y^3/2=K1, para (0,1) vem K1=0+tfrac43cdot1^3/2=4/3.
  • Em -x+tfrac43y^3/2=K2, para (0,1) vem K2=4/3.

Resposta

As duas trajetórias ortogonais que passam por (0,1) são:
x+43y^3/2=43
e
-x+43y^3/2=43

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