Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
que passam pelo ponto .
Passo 1
O enunciado pede para achar as trajetórias ortogonais à família de parábolas dada por , que passam por . O conteúdo é “trajetórias ortogonais” e vamos precisar: (1) escrever a família em forma implícita ; (2) obter sua derivada ; (3) substituir no critério de ortogonalidade (declive negativo recíproco); (4) resolver a ODE resultante e (5) aplicar a condição de passagem.
Passo 2
Começamos derivando implicitamente . Como é parâmetro constante, temos
Passo 3
Precisamos eliminar . Da equação original tiramos
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Passo 4
O declive de cada curva da família é . Para as trajetórias ortogonais o declive deve ser o negativo recíproco, ou seja
Passo 5
Temos duas ODEs separáveis:
dydx=-12raizyedydx=12raizy
Passo 6
Vamos integrar cada uma. Para dy/dx=-1/(2raizy) separamos:
2raizy,dy=-dx
Passo 7
Integrando,
integral2y^1/2dy=integral-1,dxLongrightarrow43y^3/2=-x+K1,
ou de forma implícita x+43y^3/2=K1
Passo 8
Para dy/dx=1/(2raizy) de modo análogo obtemos
43y^3/2=x+K2Longrightarrow -x+43y^3/2=K2
Passo 9
Essas são as famílias de trajetórias ortogonais gerais. Agora impomos que passem por (0,1):
Em x+tfrac43y^3/2=K1, para (0,1) vem K1=0+tfrac43cdot1^3/2=4/3.
Em -x+tfrac43y^3/2=K2, para (0,1) vem K2=4/3.
Resposta
As duas trajetórias ortogonais que passam por (0,1) são: