Determine se r(t) possui parametrização lisa, isto é, se r^prime(t) é contínua e neq 0.
r(t)=cos t^2 i+sen t^2 j+e^-t k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a parametrização
r(t)=cos(t^2),i+sin(t^2),j+e^-t,k
é lisa, ou seja, se r'(t) é contínua e nunca é o vetor zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Como
ddtl[cos(t^2)r]=-2tsin(t^2), ddtl[sin(t^2)r]=2tcos(t^2), ddtl[e^-tr]=-e^-t,
temos
r'(t)=-2tsin(t^2),i+2tcos(t^2),j-e^-t,k

Passo 3

Cada componente de r'(t) é combinação de funções elementares (polinômio, seno, cosseno e exponencial), logo todas são contínuas em R. Para ver que r'(t)neq0 note que a terceira componente é -e^-t, e como e^-t>0 para todo t, temos -e^-tneq0. Assim o vetor r'(t) nunca é o vetor zero.

Resposta

A parametrização é lisa, pois r'(t) é contínua e nunca se anula.

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