Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano
em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
.
Passo 1
Temos a EDO
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade de Picard-Lipschitz (ou Cauchy-Lipschitz), que exige que
e
sejam contínuas num domínio aberto do plano
.
Passo 2
Identificamos
Para que
esteja bem definida e seja contínua, precisamos de
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
que também exige
para ser contínua.
Passo 4
O conjunto
tem duas componentes conectadas abertas:
Em cada uma delas
e
são contínuas, garantindo existência local e unicidade de solução para qualquer ponto inicial dentro de cada componente.
Resposta
Os domínios abertos onde existe solução local única são