Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano ty em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
y^prime=3(t+y)^-2.

Passo 1

Temos a EDO
y' = 3,(t+y)^-2
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade de Picard-Lipschitz (ou Cauchy-Lipschitz), que exige que f(t,y) e partial f/partial y sejam contínuas num domínio aberto do plano (t,y).

Passo 2

Identificamos
f(t,y) = 3,(t+y)^-2
Para que f esteja bem definida e seja contínua, precisamos de
t + y neq 0

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(t,y) = 3 cdot (-2),(t+y)^-3 = -6,(t+y)^-3,
que também exige t+yneq0 para ser contínua.

Passo 4

O conjunto (t,y)mid t+yneq0 tem duas componentes conectadas abertas:
(t,y)mid t+y>0 e (t,y)mid t+y<0
Em cada uma delas f e partial f/partial y são contínuas, garantindo existência local e unicidade de solução para qualquer ponto inicial dentro de cada componente.

Resposta

Os domínios abertos onde existe solução local única são
(t,y)mid t+y>0 e (t,y)mid t+y<0

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