Considere o PVI
l dydt=-t+raizt^2+4 y2 y(2)=-1
Verifique que y1=1-t e y2=-t^24 são soluções deste PVI.

Passo 1

O problema dá o PVI
dydt = -t + raizt^2 + 4,y2, y(2) = -1,
e pede para verificar que
y1(t) = 1 - t e y2(t) = -t^24
são soluções. Vamos checar, para cada candidato, a condição inicial e a igualdade entre dy/dt e o lado direito.

Passo 2

Para y1(t)=1-t:
  1. Condição inicial:
y1(2)=1-2=-1,
que coincide com y(2)=-1.
2. Derivada:
ddt(1-t)=-1
  1. Substituindo em raizt^2+4y1:
t^2+4(1-t)=t^2-4t+4=(t-2)^2 Longrightarrow raiz(t-2)^2=t-2(raiz principal>=0)
Logo o lado direito fica
-t + (t-2)2=-22=-1,
que é exatamente dy1dt. Portanto y1 satisfaz o PVI em um intervalo onde tomamos raiz(t-2)^2=t-2, por exemplo para t>=2.

Passo 3

Para y2(t)=-tfract^24:
  1. Condição inicial:
y2(2)=-2^24=-1,
ok.
2. Derivada:
ddtl(-tfract^24r)=-t2
  1. Substituindo em raizt^2+4y2:
t^2+4l(-tfract^24r)=t^2-t^2=0 Longrightarrow raiz0=0
Então o lado direito é
-t+02=-t2,
que coincide com dy2dt. Assim y2 satisfaz o PVI para todo t.

Resposta

Ambas as funções y1(t)=1-t (no ramo t>=2) e y2(t)=-tfract^24 satisfazem o PVI dado.

Exercícios relacionados