Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano
em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) na EDO
. Vamos precisar verificar onde a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas em torno de um ponto
.
Passo 2
Definimos
. Para que
seja real e contínua, é preciso ter
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero. Logo precisamos de
Passo 5
Portanto, em qualquer ponto
que satisfaça
, ambas
e
são contínuas num retângulo (ou vizinhança) e o teorema garante solução local única.
Em resumo, o domínio do plano onde a existência e unicidade local estão garantidas é o interior do disco unitário.
Em resumo, o domínio do plano
Resposta
O domínio é D = { (t,y) ∈ R² : t² + y² < 1 } onde existe solução local única.