Para cada uma das seguintes EDOs, estabeleça domínios do plano ty em que a existência de uma solução local única, passando por um ponto qualquer especificado, esteja garantida.
y^prime=(1-t^2-y^2)^1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) na EDO y'=raiz1-t^2-y^2. Vamos precisar verificar onde a função f(t,y)=raiz1-t^2-y^2 e sua derivada parcial em relação a y são contínuas em torno de um ponto (t0,y0).

Passo 2

Definimos f(t,y)=raiz1-t^2-y^2. Para que f seja real e contínua, é preciso ter
1 - t^2 - y^2 >= 0

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y(t,y)=partialpartial yl(raiz1-t^2-y^2r)=-yraiz1-t^2-y^2

Passo 4

Para que essa derivada exista e seja contínua, o denominador não pode ser zero. Logo precisamos de
1 - t^2 - y^2 > 0

Passo 5

Portanto, em qualquer ponto (t0,y0) que satisfaça t0^2 + y0^2 < 1, ambas f e partial f/partial y são contínuas num retângulo (ou vizinhança) e o teorema garante solução local única.
Em resumo, o domínio do plano t y onde a existência e unicidade local estão garantidas é o interior do disco unitário.

Resposta

O domínio é D = { (t,y) ∈ R² : t² + y² < 1 } onde existe solução local única.

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