Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial y(0).
y^prime=e^y-10

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
y' = e^y - 10
e pede para encontrar as soluções de equilíbrio (ou pontos críticos), classificar cada uma (estável/instável) e descrever o comportamento das soluções segundo o valor inicial y(0). Vamos usar análise de equilíbrio de sistemas unidimensionais e diagrama de fases.

Passo 2

Para achar as soluções de equilíbrio, igualamos o lado direito a zero:
e^y - 10 = 0 Longrightarrow e^y = 10 Longrightarrow y = ln(10)
Logo existe exatamente um ponto de equilíbrio:
ye = ln(10)

Passo 3

Para classificar o equilíbrio, calculamos a derivada de f(y)=e^y-10:
f'(y) = ddyl(e^y-10r) = e^y
Em y=ye temos
f'l(yer) = e^ln(10) = 10 > 0
Como f'(ye)>0, o ponto ye=ln(10) é um ponto de equilíbrio instável (fonte).

Passo 4

Vamos ao diagrama de fases qualitativo em termos de y:
Para y < ln(10), tem e^y<10 logo y' = e^y-10<0: as soluções decrescem.
Para y > ln(10), tem e^y>10 logo y' = e^y-10>0: as soluções crescem.
Isto significa que em y=ln(10) as setas no diagrama de fases apontam para fora, confirmando instabilidade.

Passo 5

Com base nisso, descrevemos o comportamento das soluções segundo y(0)=y0:
  • Se y0 = ln(10), a solução permanece constante:
    y(t)equiv ln(10)
  • Se y0 < ln(10), então y'<0 para todo t e y(t) decresce monotonicamente. À medida que tto+infty, y(t)to -infty.
  • Se y0 > ln(10), então y'>0 para todo t e y(t) cresce monotonicamente. A solução diverge para +infty (e atinge valores muito grandes conforme t aumenta).
Em termos de esboço, imaginamos curvas horizontais saindo de cada condição inicial e aproximando-se de -infty ou +infty, com a reta y=ln(10) como separatriz instável.

Resposta

O único equilíbrio é
ye=ln(10),
e é instável ( f'(ye)=10>0). As soluções com y(0)<ln(10) decrescem para -infty, as com y(0)>ln(10) crescem para +infty, e a solução iniciada em y(0)=ln(10) é constante.

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