Para cada uma das seguintes equações autônomas determine e classifique as soluções de equilíbrio. Faça um esboço das possíveis soluções e descreva como vária o comportamento dependendo do valor da condição inicial
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
e pede para encontrar as soluções de equilíbrio (ou pontos críticos), classificar cada uma (estável/instável) e descrever o comportamento das soluções segundo o valor inicial
. Vamos usar análise de equilíbrio de sistemas unidimensionais e diagrama de fases.
Passo 2
Para achar as soluções de equilíbrio, igualamos o lado direito a zero:
Logo existe exatamente um ponto de equilíbrio:
Passo 3
Para classificar o equilíbrio, calculamos a derivada de
:
Em
temos
Como
, o ponto
é um ponto de equilíbrio instável (fonte).
Passo 4
Vamos ao diagrama de fases qualitativo em termos de
:
Para
, tem
logo
: as soluções decrescem.
Para , tem
logo
: as soluções crescem.
Para
Isto significa que em
as setas no diagrama de fases apontam para fora, confirmando instabilidade.
Passo 5
Com base nisso, descrevemos o comportamento das soluções segundo
:
-
Se
, a solução permanece constante: -
Se
, então para todo e decresce monotonicamente. À medida que , . -
Se
, então para todo e cresce monotonicamente. A solução diverge para (e atinge valores muito grandes conforme aumenta).
Em termos de esboço, imaginamos curvas horizontais saindo de cada condição inicial e aproximando-se de
ou
, com a reta
como separatriz instável.
Resposta
O único equilíbrio é
e é instável (
). As soluções com
decrescem para
, as com
crescem para
, e a solução iniciada em
é constante.