Para cada uma das seguintes equações calcule uma raiz aproximada usando o método de Newton-Raphson com tolerância \varepsilon=0.5 \times 10^{-2} e trabalhe com 3 casas decimais considerando arredondamento.
e^{-x}-x^{2}=0

Passo 1

O problema pede a raiz da equação
e^{-x} - x^{2} = 0
usando o método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon = 0{,}5\times10^{-2} e mantendo todas as iterações com 3 casas decimais (arredondadas).

Passo 2

Definimos
f(x) = e^{-x} - x^{2},
f'(x) = -\,e^{-x} - 2x.
No método de Newton–Raphson, a fórmula de iteração é
x_{n+1} = x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Escolhemos como chute inicial x_0 = 0{,}500 (visto que f(0)=1>0 e f(1)\approx -0{,}632<0, há raiz em (0,1)).
Calculemos então
f(0{,}500) = e^{-0.500} - (0.500)^2 \approx 0{,}606531 - 0{,}250 = 0{,}356531,
f'(0{,}500) = -\,0{,}606531 - 2\cdot0{,}500 = -1{,}606531.
Assim
x_{1} = 0{,}500 \;-\;\frac{0{,}356531}{-1{,}606531} \approx 0{,}7220\;\longrightarrow\;0{,}722.
Diferença \lvert x_{1}-x_{0}\rvert = 0{,}222 > 0{,}005, continua.

Passo 4

Com x_{1}=0{,}722,
f(0{,}722) = e^{-0.722} - (0.722)^2 \approx 0{,}4857 - 0{,}5213 = -0{,}0356,
f'(0{,}722) = -\,0{,}4857 - 2\cdot0{,}722 = -1{,}9297.
Logo
x_{2} = 0{,}722 \;-\;\frac{-0{,}0356}{-1{,}9297} \approx 0{,}7043\;\longrightarrow\;0{,}704.
Diferença \lvert x_{2}-x_{1}\rvert = 0{,}018 > 0{,}005, continua.

Passo 5

Com x_{2}=0{,}704,
f(0{,}704) = e^{-0.704} - (0.704)^2 \approx 0{,}4948 - 0{,}4956 = -0{,}0008,
f'(0{,}704) = -\,0{,}4948 - 2\cdot0{,}704 = -1{,}9028.
Então
x_{3} = 0{,}704 \;-\;\frac{-0{,}0008}{-1{,}9028} \approx 0{,}7036\;\longrightarrow\;0{,}704.
Diferença \lvert x_{3}-x_{2}\rvert = 0{,}000 < 0{,}005, critério de parada satisfeito.

Resposta

A raiz aproximada é x \approx 0{,}704.

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