Para cada uma das seguintes equações calcule uma raiz aproximada usando o método de Newton-Raphson com tolerância \varepsilon=0.5 \times 10^{-2} e trabalhe com 3 casas decimais considerando arredondamento.
2 x^{3}-18 x^{2}+46 x-30=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2x^{3} - 18x^{2} + 46x - 30 = 0
e pede para calcular uma raiz aproximada usando o método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon = 0.5 \times 10^{-2} e trabalhar com 3 casas decimais, sempre arredondando.

Passo 2

O método de Newton–Raphson constrói uma sequência \{x_{n}\} dada por
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
e interrompe quando
\bigl|x_{n+1} - x_{n}\bigr| < \varepsilon.
Aqui vamos arredondar cada x_{n}, f(x_{n}) e f'(x_{n}) para 3 casas decimais antes de calcular o próximo termo.

Passo 3

Calculamos a função e sua derivada:
f(x) = 2x^{3} - 18x^{2} + 46x - 30,
f'(x) = 6x^{2} - 36x + 46.

Passo 4

Escolhemos o palpite inicial
x_{0} = 2.500.
Calculamos
f(x_{0}) = 2(2.500)^{3} - 18(2.500)^{2} + 46(2.500) - 30 = 3.750,
f'(x_{0}) = 6(2.500)^{2} - 36(2.500) + 46 = -6.500.
Logo
x_{1} = 2.500 - \frac{3.750}{-6.500} = 3.076923\approx 3.077.

Passo 5

Para x_{1}=3.077 temos
f(3.077) = -0.620,\quad f'(3.077) = -7.974,
x_{2} = 3.077 - \frac{-0.620}{-7.974} = 2.9993\approx 2.999,
e
\bigl|x_{2} - x_{1}\bigr| = |2.999 - 3.077| = 0.078 > 0.005,
então continuamos.

Passo 6

Para x_{2}=2.999 calculamos
f(2.999) = 0.019,\quad f'(2.999) = -8.000,
x_{3} = 2.999 - \frac{0.019}{-8.000} = 3.0014\approx 3.001,
e
\bigl|x_{3} - x_{2}\bigr| = |3.001 - 2.999| = 0.002 < 0.005.
Como isso satisfaz o critério de parada, paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada é x \approx 3.001.

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