Deseja-se calcular o \operatorname{arccos} (0.7) no intervalo [0,1].
(i) Determine uma função f(x) para a qual x^{*}=\operatorname{arccos} (0.7) é um zero.
(ii) Utilize o método de Newton-Raphson na f(x) para obter uma aproximação a partir de x_{o}= 0.8 e faça 4 iterações do método.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de x^{*}=\operatorname{arccos}(0.7) no intervalo [0,1] usando o método de Newton-Raphson. Vamos transformar o problema em achar o zero de uma função apropriada e aplicar iterações de Newton a partir de x_{0}=0.8.

Passo 2

Como \operatorname{arccos}(0.7) é a solução de \cos(x)=0.7, definimos
f(x)=\cos(x)-0.7
para o qual x^{*} é um zero. A derivada é
f'(x)=-\sin(x).

Passo 3

A fórmula do método de Newton-Raphson é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Substituindo f e f' obtemos
x_{n+1} =x_{n} -\frac{\cos(x_{n})-0.7}{-\sin(x_{n})} = x_{n} +\frac{\cos(x_{n})-0.7}{\sin(x_{n})}.
Começamos com x_{0}=0.8 e faremos quatro iterações.

Passo 4

Iteração 1 n=0
f(x_{0})=\cos(0.8)-0.7\approx -0.00324317,
f'(x_{0})=-\sin(0.8)\approx -0.71735609,
x_{1} =0.8 -\frac{-0.00324317}{-0.71735609} \approx 0.79547747.

Passo 5

Iteração 2 n=1
f(x_{1})=\cos(0.79547747)-0.7\approx -5.61\times10^{-5},
f'(x_{1})=-\sin(0.79547747)\approx -0.71414200,
x_{2} =0.79547747 -\frac{-5.61\times10^{-5}}{-0.71414200} \approx 0.79539890.

Passo 6

Iteração 3 n=2
f(x_{2})=\cos(0.79539890)-0.7\approx 7.0\times10^{-8},
f'(x_{2})=-\sin(0.79539890)\approx -0.71414200,
x_{3} =0.79539890 -\frac{7.0\times10^{-8}}{-0.71414200} \approx 0.79539883.

Passo 7

Iteração 4 n=3
f(x_{3})=\cos(0.79539883)-0.7\approx -1.5\times10^{-15},
f'(x_{3})=-\sin(0.79539883)\approx -0.71414200,
x_{4} =0.79539883 -\frac{-1.5\times10^{-15}}{-0.71414200} \approx 0.79539883.

Resposta

x_{1}\approx0.79547747 x_{2}\approx0.79539890 x_{3}\approx0.79539883 x_{4}\approx0.79539883

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